Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別為AB，DD₁中點，
（1）求證：EF∥平面BC₁D；
（2）求異面直線EF與BC₁所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）取 DC₁中點G，證明BFEG為平行四邊形，可得EF平行于BG，再根據(jù)直線和平面平行的判定定理，證得EF∥面BDC₁．
（2）（2）由（1）根據(jù)異面直線所成的角的定義可得∠GBC₁為EF與BC₁所成角，利用余弦定理求得cos∠GBC₁的值，可得GBC₁的值．

解答：解：（1）證明：取 DC₁中點G，連接BG，F(xiàn)G，因為F，E分別為AB，DD₁中點，
所以 FG平行且等于

1

2

C₁D₁，而AB平行且等于C₁D₁∴EG 和FB平行且相等，
故四邊形BFEG為平行四邊形，所以EF∥BG． 而BG在平面BDC₁內(nèi)，EF不在平面BDC₁內(nèi)
EF∥面BDC₁．
（2）由（1）根據(jù)異面直線所成的角的定義可得∠GBC₁為EF與BC₁所成角．
設(shè)正方體的棱長為1，在△GBC₁中，可得BC₁=

2

，GC₁=

2

2

，BG=

1+ 1 4 + 1 4

=

6

2

，故△GBC₁三邊滿足勾股定理，
故sin∠GBC₁=

GC1

BC1

=

1

2

，∴∠GBC₁=30°，故異面直線EF與BC₁所成角的大小為30°．

點評：本題主要考查直線和平面平行的判定定理的應(yīng)用，求異面直線所成的角，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．