Question

（本小題滿(mǎn)分16分）如圖，在直角坐標(biāo)系中，三點(diǎn)在軸上，原點(diǎn)和點(diǎn)分別是線段和的中點(diǎn)，已知（為常數(shù)），平面上的點(diǎn)滿(mǎn)。

（1）試求點(diǎn)的軌跡的方程；
（2）若點(diǎn)在曲線上，求證：點(diǎn)一定在某圓上；
（3）過(guò)點(diǎn)作直線，與圓相交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn)，試求直線的方程。

Answer 1

⑴由題意可得點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓． ……………………（2分）
且半焦距長(zhǎng)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，則的方程為．………（5分）
⑵若點(diǎn)在曲線上，則．設(shè)，，則，．…………………………………………………………………………（7分）
代入，得，所以點(diǎn)一定在某一圓上．
………………………………（10分）
⑶由題意．………………………………………………………………（11分）
設(shè)，則．┈┈┈①
因?yàn)辄c(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn)，所以．代入的方程得．┈┈┈②
聯(lián)立①②，解得，．…………………………………………………（15分）
故直線有且只有一條，方程為．……………………………………………（16分）
（若只寫(xiě)出直線方程，不說(shuō)明理由，給1分）

略