Question

設(shè)集合A={x|2(log

1

2

x)2-21log8x+3≤0}，若當(dāng)x∈A時(shí)，函數(shù)f(x)=log2

x

2a

•log2

x

4

的最大值為2，求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析：yusuanxingzhi先解不等式2(log

1

2

x)2-21log8x+3≤0，利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及換元法，設(shè)log2x =t，解得t的范圍，再利用換元法和對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)將函數(shù)f(x)=log2

x

2a

•log2

x

4

化為關(guān)于變量t的函數(shù)，求其最大值，列方程求得a值

解答：解：∵log

1

2

x =-log2x ，log8x =

1

3

log2x 
∴不等式2(log

1

2

x)2-21log8x+3≤0?2(-log2x)2-

21

3

log2x+3≤0
即2(log2x)2-7log2x+3≤0
令log2x =t，則
2t²-7t+3≤0   （t∈R）
即

1

2

≤t≤3
又∵y=log2

x

2a

•log2

x

4

=（log2x -a）（log2x -2）=（t-a）（t-2）
即y=（t-

2+a

2

）²-

(a-2)2

4

  （

1

2

≤t≤3）的最大值為2
若

2+a

2

≤

1 2 +3

2

=

7

4

，即a≤

3

2

時(shí)，t=3時(shí)，y_最大=3-a≠2，故不合題意
若

2+a

2

＞

1 2 +3

2

=

7

4

，即a＞

3

2

時(shí)，t=

1

2

時(shí)，y_最大=-

3

2

×（

1

2

-a）=2，即a=

11

6

，符合題意
∴函數(shù)f(x)=log2

x

2a

•log2

x

4

的最大值為2時(shí)，實(shí)數(shù)a的值為

11

6

點(diǎn)評：本題考查了對數(shù)對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及換元法解不等式，換元法求函數(shù)值域的方法，二次函數(shù)的值域及二次不等式的解法，分類討論的思想方法