Question

三棱錐P-ABC的側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，側(cè)面面積分別是6，4，3，則三棱錐的體積是

4

．

Answer 1

分析：設(shè)△PAB、△PAC、△PBC的面積分別為6、4、3，建立關(guān)于PA、PB、PC的方程組并解之得PA=4，PB=3，PC=2，然后證出PA⊥平面PBC，即可用錐體體積公式求三棱錐的體積．

解答：解：設(shè)S_△PAB=6，S_△PAC=4，S_△PBC=3，
可得

1 2 PA•PB=6 1 2 PA•PC=4 1 2 PB•PC=3

，解之得PA=4，PB=3，PC=2
∵側(cè)棱PA、PB、PC兩兩互相垂直，即PA⊥PB，PA⊥PC，而PB、PC是平面PBC內(nèi)的相交直線
∴PA⊥平面PBC
∴三棱錐P-ABC的體積V=

1

3

•S_△PBC•PA=

1

3

×

1

2

×3×2×4=4
故答案為：4

點評：本題給出三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，并在已知三個側(cè)面面積的情況下求三棱錐的體積，著重考查了線面垂直的判定和錐體體積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．