Question

計算

x2+8

x2+4

的最值時，我們可以將

x2+8

x2+4

化成

x2+4+4

x2+4

=

( x2+4 )2+4

x2+4

，再將分式分解成

x2+4

+

4

x2+4

，然后利用基本不等式求最值；借此，計算使得

x2+1+c

x2+c

≥

1+c

c

對一切實數(shù)x都成立的正實數(shù)c的范圍是

[1，+∞）

．

Answer 1

分析：由題意，將不等式的左邊進行分離為

x2+c

+

1

x2+c

，這是積為定值的兩個式子的和．在x²+c=1時，即x²=-c+1≥0，它的最小值為2．此時c∈（0，1]．接下來討論當c＞1時和0＜c≤1的兩種情況下不等式左邊的最小值，再解這個最小值大于或等于

1+c

c

，最后可得正實數(shù)c的范圍．

解答：解：根據(jù)已知條件給出的模型，得到啟發(fā)：

x2+1+c

x2+c

=

x2+c

x2+c

+

1

x2+c

=

x2+c

+

1

x2+c

≥2

x2+c • 1 x2+c

=2
當且僅當

x2+c

=

1

x2+c

時等號成立，此時x²+c=1
①當c＞1時，x²+c＞1，以上不等式的等號不能成立，
所以

x2+1+c

x2+c

的最小值應(yīng)該是x=0時的值，即(

x2+1+c

x2+c

) min =

1+c

c

因此不等式

x2+1+c

x2+c

≥

1+c

c

對一實數(shù)x都成立，符合題意．
②當0＜c≤1時，(

x2+1+c

x2+c

) min =2
若要使得

x2+1+c

x2+c

≥

1+c

c

對一切實數(shù)x都成立
必須有：2≥

1+c

c

成立，可得
2

c

≥1+c⇒(

c

-1) 2≤0⇒c=1
綜上所述，c∈[1，+∞）
故答案為：[1，+∞）

點評：本題以不等式恒成立和函數(shù)的最值為載體，考查了類比推理的方法，屬于中檔題．歸納推理與類比推理都屬于合情推理，是數(shù)學發(fā)現(xiàn)的常用推理過程．