Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=ax²-x（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)；
（2）求使f（x）≤g（x）恒成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，不等式ln（eⁿ+1）＜n+

1

en

恒成立．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），f′（x）＜0，f′（x）＞0可得單調(diào)區(qū)間及極值點(diǎn)；
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為ax≥lnx+1恒成立，令h（x）=ax-lnx-1，分a≤0，a＞0兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)h（x）的最小值即可；
（3）令eⁿ=t≥e，即證明ln（t+1）＜lnt+

1

t

，即證ln(1+

1

t

)＜

1

t

，可證lnx＜x-1，借助（2）問(wèn)結(jié)論可證；

解答：解：（1）求導(dǎo)函數(shù)可得f′（x）=lnx+1，令f′（x）=0，得x=

1

e

，
當(dāng)x∈(0，

1

e

)時(shí)，f′（x）＜0，則f（x）在（0，

1

e

）上遞減，
當(dāng)x∈(

1

e

，+∞)時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（

1

e

，+∞）上遞增，
綜上f（x）在（0，

1

e

）上遞減，在（

1

e

，+∞）上 遞增，f（x）的極小值點(diǎn)為x=

1

e

．
（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為ax≥lnx+1恒成立，
令h（x）=ax-lnx-1，則h′（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，
（�。┊�(dāng)a≤0時(shí)，h′（x）＜0，h（x）在x＞0時(shí)單調(diào)遞減，h（x）無(wú)最小值，舍去；
（ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，令h′（x）=0，得x=

1

a

，
且0＜x＜

1

a

時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減；x≥

1

a

，h′（x）≥0，h（x）遞增，
故h(x)min=h(

1

a

)=lna，只須lna≥0，即a≥1；
（3）要證明ln（eⁿ+1）＜n+

1

en

，
令eⁿ=t≥e，即證明ln（t+1）＜lnt+

1

t

，即證明ln(

t+1

t

)＜

1

t

，即證ln(1+

1

t

)＜

1

t

，
即證lnx＜x-1，
而由（2）可知a=1時(shí)，xlnx≤x²-x，
當(dāng)x＞1時(shí)，lnx＜x-1，
故ln（eⁿ+1）＜n+

1

en

是成立的，證畢．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值、單調(diào)性及不等式的證明問(wèn)題，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力．