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在xoy平面上有一點列P1(a1,b1),P2(a2,b2),P3(a3,b3),…,Pn(an,bn),…,對每一個(n∈N+),點Pn(an,bn)在函數y=2000(
a10
)
x
(0<a<10)的圖象上,且點Pn(an,bn)與點(n,0)和(n+1,0)構成一個以點Pn(an,bn)為頂點的等腰三角形.
(1)求點Pn(an,bn)的縱坐標bn關于n的表達式;
(2)若對每一個自然數n,以bn,bn+1,bn+2能構成一個三角形,求a的范圍;
(3)設Bn=b1•b2•b3•…•bn(n∈N+),若a。2)中確定的范圍內的最小整數時,求{Bn}中的最大項.
分析:(1)由題設條件知點Pn(an,bn)在兩點(n,0)與(n+1,0)連線的中垂線上,所以an=n+
1
2
,再由點Pn(an,bn)在函數y=2000(
a
10
s)x(0<a<10)的圖象上查求出bn=2000(
a
10
)
n+
1
2

(2)由題設條件知bn>bn+1>bn+2,bn+2+bn+1>bn,從而(
a
10
2+(
a
10
)-1>0,由此可求出a的范圍.
(3)由題意知a=7,2000(
7
10
)
n+
1
2
≥1且2000(
7
10
)
n+1+
1
2
<1.從而{Bn}的最大項是第20項.
解答:解:(1)由于三角形為等腰三角形,所以點Pn(an,bn)在兩點(n,0)與(n+1,0)連線的中垂線上,
從而an=n+
1
2
,又因為點Pn(an,bn)在函數y=2000(
a
10
s)x(0<a<10)的圖象上,所以bn=2000(
a
10
)
n+
1
2

(2)因為函數y=2000(
a
10
s)x(0<a<10)是單調遞減,所以對每一個自然數n有bn>bn+1>bn+2,
又因為以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形,所以bn+2+bn+1>bn,從而
2000(
a
10
)
n+2+
1
2
+2000(
a
10
)
n+1+
1
2
>2000(
a
10
)
n+
1
2
,
即:(
a
10
2+(
a
10
)-1>0,
解得:5(
5
-1)<a<10.
(3)因為5(
5
-1)<a<10且a是整數,所以a=7,因此bn=2000(
7
10
)
n+
1
2
,
又因為Bn=bnBn-1,于是當bn+1≥1時,Bn≥Bn-1,當bn+1<1時,Bn<Bn+1,
所以{Bn}的最大項的項n滿足bn≥1且bn+1<1,即:
2000(
7
10
)
n+
1
2
≥1且2000(
7
10
)
n+1+
1
2
<1.
解得:19.8<n<20.9,又n∈N,所以,n=20,從而{Bn}的最大項是第20項.
點評:本題考查數列知識的綜合運用,具有一定的難度,解題時要注意挖掘題設中的隱含條件,仔細解題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

(2000•上海)在XOY平面上有一點列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn),…,對每個自然數n,點P,位于函數y=2000(
a10
)n(0<a<10)
的圖象上,且點Pn,點(n,0)與點(n+1.0)構成一個以Pn為頂點的等腰三角形.
(Ⅰ)求點Pn的縱坐標bn的表達式.
(Ⅱ)若對每個自然數n,以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形,求a取值范圍.
(Ⅲ)設Bn=b1b2…bn(n∈N).,若a。2)中確定的范圍內的最小整數,求數列{Bn}的最大項的項數.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2000•上海)在xoy平面上有一點列P1(a1,b1),P2(a2,b2),P3(a3,b3),…,Pn(an,bn),…,對每個自然數n,點Pn位于函數y=2000(
a10
)x
,(0<a<10)的圖象上,且點Pn、點(n,0)與點(n+1,0)構成一個以Pn為頂點的等腰三角形.
(Ⅰ)求點Pn的縱坐標bn的表達式;
(Ⅱ)若對每個自然數n,以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形,求a的取值范圍;
(Ⅲ)設Cn=lg(bn),n∈N*,若a。á颍┲写_定的范圍內的最小整數,問數列{Cn}前多少項的和最大?試說明理由.(lg2=0.3010,lg7=0.8450)

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科目:高中數學 來源: 題型:

xOy平面上有一點列P1(a1,b1),P2(a2,b2),…,Pn(an,bn)…,對每個自然數nPn位于函數y=2000()x(0<a<1)的圖像上,且點Pn,點(n,0)與點(n+1,0)構成一個以Pn為頂點的等腰三角形.

(1)求點Pn的縱坐標bn的表達式;

(2)若對于每個自然數n,以bn,bn+1,bn+2為邊長能構成一個三角形,求a的取值范圍;

(3)設Cn=lg(bn)(n∈N*),若a取(2)中確定的范圍內的最小整數,問數列{Cn}前多少項的和最大?試說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:解答題

在xoy平面上有一點列P1(a1,b1),P2(a2,b2),P3(a3,b3),…,Pn(an,bn),…,對每一個(n∈N+),點Pn(an,bn)在函數y=2000數學公式(0<a<10)的圖象上,且點Pn(an,bn)與點(n,0)和(n+1,0)構成一個以點Pn(an,bn)為頂點的等腰三角形.
(1)求點Pn(an,bn)的縱坐標bn關于n的表達式;
(2)若對每一個自然數n,以bn,bn+1,bn+2能構成一個三角形,求a的范圍;
(3)設Bn=b1•b2•b3•…•bn(n∈N+),若a取(2)中確定的范圍內的最小整數時,求{Bn}中的最大項.

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