Question

已知(

x

-

2

x2

)n（n∈N^*）展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)和為256．
（1）此展開(kāi)式中有沒(méi)有常數(shù)項(xiàng)？有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)是幾個(gè)？并說(shuō)明理由．
（2）求展開(kāi)式中系數(shù)最小的項(xiàng)．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)所給的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256，得到n的值，寫(xiě)出二項(xiàng)式的通項(xiàng)，因?yàn)橐�求常�?shù)項(xiàng)，所以使得通項(xiàng)式的x的指數(shù)是0，然后看是否存在r滿足條件，有理項(xiàng)的求解使得通項(xiàng)式的x的指數(shù)是整數(shù)即可；
（2）先求展開(kāi)式中第r項(xiàng)，第r+1項(xiàng)，第r+2項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值，然后假設(shè)第r+1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，建立關(guān)系式，解之即可．

解答：解：（1）由題意，二項(xiàng)式系數(shù)和為2ⁿ=256，解得n=8，
通項(xiàng)Tr+1=

C

r 8

(

x

)8-r•(-

2

x2

)r=

C

r 8

(-2)rx

8-5r

2

，
若T_r+1為常數(shù)項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)

8-5r

2

=0，即5r=8，且r∈Z，這是不可能的，
∴展開(kāi)式中不含常數(shù)項(xiàng)．
若T_r+1為有理項(xiàng)，當(dāng)且僅當(dāng)

8-5r

2

∈Z，且0≤r≤8，即r=0，2，4，6，8，
∴展開(kāi)式中共有5個(gè)有理項(xiàng)；
（2）設(shè)展開(kāi)式中第r項(xiàng)，第r+1項(xiàng)，第r+2項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值分別為

C

r-1 8

•2r-1，

C

r 8

•2r，

C

r+1 8

•

2

r+1

，
若第r+1項(xiàng)的系數(shù)絕對(duì)值最大，則

C r-1 8 •2r-1≤ C r 8 •2r C r+1 8 •2r+1≤ C r 8 •2r

，解得5≤r≤6，
又∵r∈Z，
∴r=5或6．
∵r=5時(shí)，第6項(xiàng)的系數(shù)為負(fù)，r=6時(shí)，第7項(xiàng)的系數(shù)為正，
∴系數(shù)最小的項(xiàng)為T6=

C

5 8

(-2)5x-

17

2

=-1792•x-

17

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是一個(gè)二項(xiàng)展開(kāi)式的特定項(xiàng)的求法，還考查二項(xiàng)式系數(shù)之和的特點(diǎn)，解本題時(shí)容易公式記不清楚導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．