Question

已知點P（x，y）與點連線的斜率之積為1，點C的坐標為（1，0）．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）過點Q（2，0）的直線與點P的軌跡交于E、F兩點，求證為常數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）直線PA和PB的斜率分別為與，（x），由題設知，由此能求出點P的軌跡方程．
（Ⅱ）設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），設過點Q（2，0）的直線為y=k（x-2），將它代入x²-y²=2，得（k²-1）x²-4k²x+4k²+2=0．由韋達定理，得，由此能求出=-1．直線斜率不存在時，E（2，），F(xiàn)（2，-），．所以為常數(shù)-1．
解答：（本題滿分12分）
解：（Ⅰ）直線PA和PB的斜率分別為與，（x），…（2分）
∵點P（x，y）與點連線的斜率之積為1，
∴，
即y²=x²-2，…（4分）
所求點P的軌跡方程為x²-y²=2，（x）．…（5分）
（Ⅱ）設E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），
設過點Q（2，0）的直線為y=k（x-2），…（6分）
將它代入x²-y²=2，
得（k²-1）x²-4k²x+4k²+2=0．…（7分）
由韋達定理，得，…（8分）
∴
=x₁x₂-（x₁+x₂）+1+y₁y₂
=
=（1+k²）x₁x₂-（1+2k²）（x₁+x₂）+1+4k²
=（1+k²）•-（1+2k²）•+1+4k²
=-1．    …（10分）
當直線斜率不存在時，
，解得E（2，），F(xiàn)（2，-），
此時=-1．    …（12分）
故．
所以為常數(shù)-1．…（12分）
點評：本題主要考查雙曲線標準方程，簡單幾何性質，直線與雙曲線的位置關系等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉化思想．