Question

（備用題）如圖，已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的點(diǎn)M(1，

3

2

)到它的兩焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為4，A、B分別是它的左頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)．
（I）求此橢圓的方程及離心率；
（II）平行于AB的直線l與橢圓相交于P、Q兩點(diǎn)，求|PQ|的最大值及此時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）由橢圓上的點(diǎn)M到它的兩焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為4，可得a的值，再將M（1，

3

2

）代入，即可確定橢圓方程及離心率；
（II）設(shè)l的方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理確定|PQ|的表達(dá)式，從而可求|PQ|的最大值及此時(shí)直線l的方程．

解答：解：（I）由題意，∵橢圓上的點(diǎn)M到它的兩焦點(diǎn)F₁、F₂的距離之和為4，
∴2a=4，∴a=2
∴方程為

x2

4

+

y2

b2

=1
將M（1，

3

2

）代入得

1

4

+

( 3 2 )2

b2

=1，∴b²=3，∴c²=1
∴橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1，e=

c

a

=

1

2

；
（II）∵kAB=

3

2

，∴設(shè)l的方程為：y=

3

2

x+m
由

y= 3 2 x+m x2 4 + y2 3 =1

，∴3x2+2

3

mx+2m2-6=0
∴△=12（6-m²）＞0，∴0≤m²＜6
設(shè)

P(x1，y1)，Q(x2，y2)

，則x₁+x₂=-

2 3 m

3

，x₁x₂=

2m2-6

3

∴|PQ|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+ 3 4

•

4m2 3 -4• 2m2-6 3

=

42-7m2 3

∵0≤m²＜6，∴m²=0，即m=0時(shí)，|PQ|max=

14

，此時(shí)l的方程為y=

3

2

x

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查弦長公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．