Question

【題目】已知集合A={a1 ， a2 ， …，am}．若集合A1∪A2∪A3∪…∪An=A，則稱A1 ， A2 ， A3 ， …，An為集合A的一種拆分，所有拆分的個數(shù)記為f（n，m）．
（1）求f（2，1），f（2，2），f（3，2）的值；
（2）求f（n，2）（n≥2，n∈N*）關(guān)于n的表達式．

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)A1∪A2={a1}，共有3種，即f（2，1）=3；

設(shè)A1∪A2={a1，a2}，若A1=，則有1種；若A1={a1}，則有2種；

若A1={a2}，則有2種；若A1={a1，a2}，則有4種；即f（2，2）=9；

設(shè)A1∪A2∪A3={a1，a2}，若A1=，則A2∪A3={a1，a2}，所以有f（2，2）=9種；

若A1={a1}，則A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a2}，

所以有f（2，2）+f（2，1）=12；若A1={a2}，則有12種；

若A1={a1，a2}，則A2∪A3={a1，a2}或A2∪A3={a1}或A2∪A3={a2}或A2∪A3=，

所以有1+3+3+9=16種；即f（3，2）=49

（2）解：猜想f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*，用數(shù)學歸納法證明．

當n=2時，f（2，2）=9，結(jié)論成立．

假設(shè)n=k時，結(jié)論成立，即f（k，2）=（2k﹣1）2，

當n=k+1時，A1∪A2∪…∪Ak+1={a1，a2}

當Ak+1=時，A1∪A2∪A3∪…∪Ak={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2種；

當Ak+1={a1}時，A1∪A2∪…∪Ak={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2種，

或A1∪A2∪A3∪…∪Ak={a2}，所以有2k﹣1種，共有2k（2k﹣1）種；

同理當Ak+1={a2}時，共有2k（2k﹣1）種；

當Ak+1={a1，a2}時，A1∪A2∪A3∪…∪Ak={a1，a2}，所以有f（k，2）=（2k﹣1）2種，

或A1∪A2∪A3∪…∪Ak={a1}，所以有2k﹣1種，或A1∪A2∪…∪Ak={a2}，

所以有2k﹣1種，或A1∪A2∪A3∪…∪Ak=，所以有1種，共有22k種；

則f（k+1，2）=4（2k﹣1）2+4（2k﹣1）+1=（2k+1﹣1）2，

所以，當n=k+1時，結(jié)論成立．

所以f（n，2）=（2n﹣1）2，n≥2，n∈N*

【解析】（1）設(shè)A1∪A2={a1}，得f（2，1）=3； 設(shè)A1∪A2={a1 ， a2}，得f（2，2）=9；設(shè)A1∪A2∪A3={a1 ， a2}，由此利用分類討論思想能求出f（3，2）．（2）猜想f（n，2）=（2n﹣1）2 ， n≥2，n∈N* ， 再利用數(shù)學歸納法進行證明．
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解集合的并集運算的相關(guān)知識，掌握并集的性質(zhì)：（1）AA∪B，BA∪B，A∪A=A，A∪=A,A∪B=B∪A;（2）若A∪B=B，則AB，反之也成立．