Question

【題目】已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)，且在軸上截得的弦長(zhǎng)為4.

(1)求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程；

(2)點(diǎn)為軌跡上任意一點(diǎn)，直線為軌跡上在點(diǎn)處的切線，直線交直線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交軌跡于點(diǎn)，求的面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）16.

【解析】

（1）設(shè)出動(dòng)圓圓心C的坐標(biāo)，由圓的半徑、弦心距及半弦長(zhǎng)的關(guān)系列式整理求得動(dòng)圓圓心軌跡C的方程；（2）由拋物線方程設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)得到切線PR方程，代入y＝﹣1得點(diǎn)R橫坐標(biāo)，求PQ所在直線方程，和拋物線聯(lián)立，由根與系數(shù)關(guān)系得Q點(diǎn)橫坐標(biāo)，求出線段PQ和PR的長(zhǎng)度，由三角形面積公式得到面積關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)，利用換元法及基本不等式求最值．

（1）設(shè)動(dòng)圓圓心C（x，y），由動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)A（0，2），且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為4得，|CA|2﹣y2＝4，即x2+（y﹣2）2﹣y2＝4，整理得：x2＝4y．∴動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程為x2＝4y；

（2）C的方程為x2＝4y，即，故，設(shè)P(t,)（t≠0），

PR所在的直線方程為，即，

令y=-1得點(diǎn)R橫坐標(biāo)，|PR|=；

PQ所在的直線方程為，即，

由，得，

由得點(diǎn)Q橫坐標(biāo)為，

∴|PQ|=，

，不妨設(shè)t＞0，,

記 ，則當(dāng)t＝2時(shí)，f（t）min＝4,

則三角形面積的最小值為．