Question

【題目】設直線l：y=k（x+1）（k≠0）與橢圓3x2+y2=a2（a＞0）相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點C，記O為坐標原點． （Ⅰ）證明：a2＞ ；
（Ⅱ）若 ，求△OAB的面積取得最大值時的橢圓方程．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）由y=k（x+1）（k≠0）得 ． 并代入橢圓方程3x2+y2=a2消去x得（3+k2）y2﹣6ky+3k2﹣k2a2=0 ①
∵直線l與橢圓相交于兩個不同的點得△=36k2﹣4（3+k2）（3k2﹣k2a2）＞0，
∴ ．
（Ⅱ）解：設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．
由①，得 ，②
∵ ，而點C（﹣1，0），
∴（﹣1﹣x1 ， ﹣y1）=2（x2+1，y2），
得y1=﹣2y2代入②，得 ，③
∴△OAB的面積 = = ≤ = ，當且僅當k2=3，即 時取等號．
把k的值代入③可得 ，
將 及 這兩組值分別代入①，均可解出a2=15．
∴△OAB的面積取得最大值的橢圓方程是3x2+y2=15
【解析】（1）把直線l的方程代入橢圓方程，由直線與橢圓相交于A、B兩個不同的點可得△＞0，解出即可證明；（2）設A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）．利用根與系數的關系及向量相等得到y(tǒng)1 ， y2的關系及可用k來表示，再利用三角形的面積公式∴△OAB的面積 及基本不等式的性質即可得出取得面積最大值時的k的值，進而得到a的值．
【考點精析】關于本題考查的橢圓的標準方程，需要了解橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：才能得出正確答案．