Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1 (a＞0，b＞0)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率e=2，點(diǎn)M（

5

，

3

）在雙曲線上． 
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）若直線l與雙曲線交于P、Q兩點(diǎn)，且

OP

•

OQ

=0，求

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用雙曲線的離心率e=2，點(diǎn)M（

5

，

3

）在雙曲線上，建立方程，結(jié)合c²=a²+b²，即可求得雙曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)OP直線方程為y=kx，OQ直線方程為y=-

1

k

x，分別與雙曲線方程聯(lián)立，計(jì)算

1

|OP|2

、

1

|OQ|2

，即可求得

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

的值．

解答：解：（Ⅰ）∵雙曲線的離心率e=2，點(diǎn)M（

5

，

3

）在雙曲線上
∴

c

a

=2，

5

a2

-

3

b2

=1 
∵c²=a²+b²
∴a²=4，b²=12
∴雙曲線的方程為

x2

4

-

y2

12

=1 ；
（Ⅱ）設(shè)OP直線方程為y=kx，OQ直線方程為y=-

1

k

x
y=kx代入雙曲線方程，可得

x2

4

-

(kx)2

12

=1 ，∴x2=

12

3-k2

，
∴y2=

12k2

3-k2

∴

1

|OP|2

=

1

x2+y2

=

3-k2

12(1+k2)

同理，

1

|OQ|2

=

3k2-1

12(1+k2)

∴

1

|OP|2

+

1

|OQ|2

=

1

6

點(diǎn)評：本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．