Question

已知數(shù)列

1

1×4

，

1

4×7

，

1

7×10

，…，

1

(3n-2)(3n+1)

，…，計(jì)算S₁，S₂，S₃，根據(jù)計(jì)算結(jié)果，猜想S_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

Answer 1

分析：由題意得S₁=a₁，由S₂=a₁+a₂求得S₂，同理求得 S₃，S₄．猜想猜想Sn=

n

3n+1

，n∈N₊，用數(shù)學(xué)歸納法證明，檢驗(yàn)n=1時(shí)，猜想成立；假設(shè)Sk=

k

3k+1

，則當(dāng)n=k+1時(shí)，由條件可得當(dāng)n=k+1時(shí)，也成立，從而猜想仍然成立．

解答：解：S1=

1

1×4

=

1

4

，S2=

1

1×4

+

1

4×7

=

2

7

，
S3=

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

=

3

10

----------（4分）
猜想：Sn=

n

3n+1

----------------------------（6分）
證明：（1）當(dāng)n=1 時(shí)，由上面計(jì)算知結(jié)論正確．
（2）假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即Sk=

k

3k+1

，
當(dāng)n=k+1時(shí)，Sk+1=Sk+ak+1=

k

3k+1

+

1

(3k+1)(3k+4)

=

k(3k+4)+1

(3k+1)(3k+4)

=

(k+1)(3k+1)

(3k+1)(3k+4)

=

k+1

3(k+1)+1

∴當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立，
由（1），（2）知，等式對(duì)任意正整數(shù)都成立-------------------------（14分）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，用歸納法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)的基本步驟：（1）檢驗(yàn)n=1成立（2）假設(shè)n=k時(shí)成立，由n=k成立推導(dǎo)n=k+1成立，要注意由歸納假設(shè)到檢驗(yàn)n=k+1的遞推．