Question

已知函數(shù)f（x）=cos

2x

5

+sin

2x

5

（x∈R），給出以下命題：①函數(shù)f（x）的最大值是2；②周期是

5π

2

；③函數(shù)f（x）的圖象上相鄰的兩條對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是

5π

2

； ④對(duì)任意x∈R，均有f（5π-x）=f（x）成立；⑤點(diǎn)（

15π

8

，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心．其中正確命題的序號(hào)是

③⑤

．

Answer 1

分析：利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=

2

sin（

2x

5

+

π

4

），由此確定函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、周期性、最值，從而得到答案．

解答：解：∵函數(shù)f（x）=cos

2x

5

+sin

2x

5

=

2

sin（

2x

5

+

π

4

） （x∈R），故其最大值等于

2

，周期等于

2π

2 5

=5π，兩條相鄰的對(duì)稱(chēng)軸之間的距離是

5π

2

，
故①②不正確，③正確．
令

2x

5

+

π

4

=kπ+

π

2

，k∈z，可得 x=

5kπ

2

+

5π

8

，k∈z，故函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為 x=

5kπ

2

+

5π

8

，k∈z，故函數(shù)不關(guān)于x=

5π

2

對(duì)稱(chēng)，故④不正確．
當(dāng)x=

15π

8

時(shí)，函數(shù)f（x）=

2

sin（

2

5

×

15π

8

+

π

4

）=sinπ=0，故點(diǎn)（

15π

8

，0）是函數(shù)f（x）圖象的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心，故⑤正確．
綜上，只有③⑤正確，
故答案為：③⑤．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)求值，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的對(duì)稱(chēng)性、周期性、最值，利用兩角和差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)f（x）=

2

sin（

2x

5

+

π

4

），
是解題的突破口，屬于中檔題．