Question

設函數．（a∈R且a≠0）
（1）分別判斷當a=1及a=-2時函數的奇偶性．
（2）在a∈R且a≠0的條件下，將（1）的結論加以推廣，使命題（1）成為推廣后命題的特例，并對推廣的結論加以證明．

Answer 1

解：（1）當a=1時，，由1-x²≥0，
∴-1≤x≤1．所以
∵，∴，
∴f（x）為非奇非偶函數． （4分）
（如舉其他的反例同樣給分）
當a=-2時，，由4-x²≥0，得-2≤x≤2，
所以，x∈[-2，0）∪（0，2]，
∵f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數．（4分）
（2）當a＞0時，f（x）為非奇非偶函數；當a＜0時，f（x）為奇函數．（2分）a＞0時，由a²-x²≥0，得-a≤x≤a，
∴，可以驗證：，
∴f（x）為非奇非偶函數．（如舉其他的反例同樣給分） （3分）
a＜0時，由a²-x²≥0，得a≤x≤-a，∴，
并且對定義域中任意的x，f（-x）=-f（x）成立，∴f（x）為奇函數．（3分）
分析：（1）判斷函數的奇偶性，首先要判斷函數的定義域，若定義域關于原點對稱，則判斷f（-x）與f（x）的關系，若f（-x）=f（x），則函數f（x）是偶函數，若f（-x）=-f（x），則函數f（x）是奇函數．
（2）首先對a進行分類討論：當a＞0時，f（x）為非奇非偶函數；當a＜0時，f（x）為奇函數．
點評：本題主要考查了函數的兩大基本性質之一的函數的奇偶性．用定義判斷函數的奇偶性主要兩個基本步驟，第一步判斷函數的定義域是否關于原點對稱，第二步判斷f（-x）與f（x）的關系．本題屬于中檔題目．