Question

已知數(shù)列滿足,.
(1)若為遞增數(shù)列,且成等差數(shù)列,求的值;
(2)若,且是遞增數(shù)列,是遞減數(shù)列,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.

Answer 1

(1)   (2) 或

解析試題分析:(1)利用數(shù)列的單調(diào)性,得到的符號(hào)去掉的絕對(duì)值,再分布令得到之間的關(guān)系,再利用題目已知等差中項(xiàng)的性質(zhì)列出關(guān)于的等式,即可求出的值.
(2)根據(jù)數(shù)列在為奇數(shù)和偶數(shù)的單調(diào)性可得到且,兩不等式變?yōu)橥��?hào)相加即可得到,根據(jù)題意可得結(jié)合與可去掉的絕對(duì)值,分為奇或偶數(shù),利用疊加法即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式.
(1)因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列,所以,則,分別令可得,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/4e/5/5ek3h2.png" style="vertical-align:middle;" />成等差數(shù)列,所以或,
當(dāng)時(shí),數(shù)列為常數(shù)數(shù)列不符合數(shù)列是遞增數(shù)列,所以.
(2)由題可得,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/63/6/88z0q.png" style="vertical-align:middle;" />是遞增數(shù)列且是遞減數(shù)列,所以且,則有,因?yàn)?br />(2)由題可得,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/63/6/88z0q.png" style="vertical-align:middle;" />是遞增數(shù)列且是遞減數(shù)列,所以且,兩不等式相加可得,
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/bd/d/16w3e2.png" style="vertical-align:middle;" />,所以,即,
同理可得且,所以,
則當(dāng)時(shí),,這個(gè)等式相加可得
.
當(dāng)時(shí), ,這個(gè)等式相加可得
,當(dāng)時(shí),符合,故
綜上