Question

設函數f(x)=

sinx

2+cosx

．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）如果對任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先確定函數的定義域然后求導數fˊ（x），在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，求出單調區(qū)間．
（2）令g（x）=ax-f（x），根據導數研究單調性的方法，即轉化成研究對任何x≥0，都有g（x）≥0恒成立，再利用分類討論的方法求出a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=

(2+cosx)cosx-sinx(-sinx)

(2+cosx)2

=

2cosx+1

(2+cosx)2

．（2分）
當2kπ-

2π

3

＜x＜2kπ+

2π

3

（k∈Z）時，cosx＞-

1

2

，即f'（x）＞0；
當2kπ+

2π

3

＜x＜2kπ+

4π

3

（k∈Z）時，cosx＜-

1

2

，即f'（x）＜0．
因此f（x）在每一個區(qū)間(2kπ-

2π

3

，2kπ+

2π

3

)（k∈Z）是增函數，f（x）在每一個區(qū)間(2kπ+

2π

3

，2kπ+

4π

3

)（k∈Z）是減函數．（6分）
（Ⅱ）令g（x）=ax-f（x），則g′(x)=a-

2cosx+1

(2+cosx)2

=a-

2

2+cosx

+

3

(2+cosx)2

=3(

1

2+cosx

-

1

3

)2+a-

1

3

．
故當a≥

1

3

時，g'（x）≥0．
又g（0）=0，所以當x≥0時，g（x）≥g（0）=0，即f（x）≤ax．（9分）
當0＜a＜

1

3

時，令h（x）=sinx-3ax，則h'（x）=cosx-3a．
故當x∈[0，arccos3a）時，h'（x）＞0．
因此h（x）在[0，arccos3a）上單調增加．
故當x∈（0，arccos3a）時，h（x）＞h（0）=0，
即sinx＞3ax．
于是，當x∈（0，arccos3a）時，f(x)=

sinx

2+cosx

＞

sinx

3

＞ax．
當a≤0時，有f(

π

2

)=

1

2

＞0≥a•

π

2

．
因此，a的取值范圍是[

1

3

，+∞)．（12分）

點評：本小題主要考查函數的導數、單調性、不等式等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力．