Question

如下圖，在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，AA₁=4，AB=5，BC=3，AC=4，D為CC₁的中點。

（1）求異面直線AD與A₁B₁所成角的余弦值；

（2）試在線段AB上找一點E，使得：A₁E⊥AD；

（3）求點D到平面B₁C₁E的距離。

Answer 1

解：（1）在直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，

（1）∵，

∴（或其補角）為異面直線AD與A₁B₁所成的角，

連結(jié)BD，在中，∵AC=4，

∴，

在中，∵BC=3，CD=2，∴，

在△ABD中，∵AB=5，

∴異面直線AD與A₁B₁所成角的余弦值為

（2）證明：∵AB=5，BC=3，AC=4，∴，

∵底面ABC⊥側(cè)面ACC₁A₁，∴BC⊥側(cè)面ACC₁A₁，

取AB、AC的中點E、F，連結(jié)EF、A₁F，則EF//BC，

∴EF⊥平面ACC₁A₁，  ∴A₁F為A₁E在側(cè)面AC₁內(nèi)的射影，

在正方形C₁CAA₁內(nèi)，∵ D、F分別為CC₁、AC的中點，

∴≌，∴，

∴，∴，

∴（三垂線定理）

（3）連結(jié)，過D作DH⊥，垂足為H。

∵EF//BC，BC//B₁C₁，∴EF// B₁C₁，∴點F在平面B₁C₁E內(nèi)。

∵EF⊥平面ACC₁A₁，平面ACC₁A₁，EF⊥DH，

∵，，∴DH⊥平面B₁C₁E。

在中，∵，∴。