Question

函數(shù)f(x)=cos4x-sin4x+2asin2(

x

2

-

π

4

)，x∈[

π

6

，

2π

3

]，a∈R
（1）當a=-4時，求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）設(shè)g(x)=sinx-

3

2

a，且f（x）≤-ag（x）在x∈[

π

6

，

2π

3

]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=-4時，利用三角函數(shù)公式可將f（x）化為：f（x）=-2（sinx-1）²-1，x∈[

π

6

，

2π

3

]，從而可求函數(shù)f（x）的最大值；
（2）由g(x)=sinx-

3

2

a，且f（x）≤-ag（x）可得

3

2

a²-a≥cos2x，x∈[

π

6

，

2π

3

]恒成立，從而可求得實數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵a=-4
∴f(x)=cos4x-sin4x+2asin2(

x

2

-

π

4

)
=cos2x-4（1-cos（x-

π

2

））
=1-2sin²x+4sinx-4
=-2（sinx-1）²-1，
∵x∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴

1

2

≤sinx≤1，當sinx=1時，f（x）取得最大值-1，
∴函數(shù)f（x）的最大值為-1；
（2）∵g(x)=sinx-

3

2

a，且f（x）≤-ag（x）在x∈[

π

6

，

2π

3

]上恒成立，
∴-a（sinx-

3

2

a）≥f（x）=cos2x+a[1-sinx]在x∈[

π

6

，

2π

3

]上恒成立，
即

3

2

a²-a≥cos2x，x∈[

π

6

，

2π

3

]恒成立，
而x∈[

π

6

，

2π

3

]時，（cos2x）_max=cos

π

3

=

1

2

，
∴即

3

2

a²-a≥

1

2

，
∴a≥1或a≤-

1

3

．
實數(shù)a的取值范圍為（-∞，-

1

3

]∪[1，+∞）．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，難點在于（2）含參數(shù)的條件的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，突出考查三角函數(shù)公式的綜合運用與恒成立問題，屬于難題．