Question

已知函數(shù)．
（1）若不等式f（x）＜k-2005對(duì)于x∈[-2，3]恒成立，求最小的正整數(shù)k；
（2）令函數(shù)，求曲線y=g（x）在（1，g（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由函數(shù)，知f′（x）=x²-1，令f′（x）=0，得x=±1，由此得到f（x）在x∈[-2，-1]上的最大值為f（3）=6，故要使得不等式f（x）＜k-2005對(duì)于x∈[-2，3]恒成立，等價(jià)于6＜k-2005恒成立，由此能求出最小的正整數(shù)k．
（2）由g（x）=f（x）-+x=-，知g′（x）=x²-ax，g（1）=，故切線方程為y-（-）=（1-a）（x-1），與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，-），（，0），由此能求出三角形面積的最小值．
解答：解：（1）∵函數(shù)，
∴f′（x）=x²-1，
令f′（x）=0，得x=±1，
當(dāng)x∈[-2，-1]時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，
∴f（-2）=×（-2）³-（-2）=-，f（-1）=-+1=．
當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f′（x）＜0，f（x）遞減，f（1）=-1=-，
當(dāng)x∈[1，3]時(shí)，f′（x）＞0，f（x）遞增，f（3）=-3=6．
∴f（x）在x∈[-2，-1]上的最大值為f（3）=6，
要使得不等式f（x）＜k-2005對(duì)于x∈[-2，3]恒成立，
則6＜k-2005恒成立，解得k＞2011，
所以最小的正整數(shù)k為2012．
（2）∵g（x）=f（x）-+x=-，
∴g′（x）=x²-ax，g（1）=，
y=g（x）在（1，g（1））處的切線的斜率為g′（1）=1-a，
故切線方程為y-（-）=（1-a）（x-1），
化簡(jiǎn)得y-（1-a）x+-a=0，與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（0，-），（，0），
又∵a≥2，∴-＜0，，
所以面積S==（）²，
∵S為遞增函數(shù)，
∴當(dāng)a=2時(shí)，面積S_min==．
點(diǎn)評(píng)：本題考查滿足條件的最小實(shí)數(shù)值的求法，考查三角形面積的最小值的求法．綜合性強(qiáng)，難度大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．