已知函數(shù)的反函數(shù)為,設(shè)的圖象上在點處的切線在y軸上的截距為,數(shù)列{}滿足:
(Ⅰ)求數(shù)列{}的通項公式;
(Ⅱ)在數(shù)列中,僅最小,求的取值范圍;
(Ⅲ)令函數(shù)數(shù)列滿足,求證:對一切n≥2的正整數(shù)都有
(Ⅰ);(Ⅱ)的取值范圍為;(Ⅲ)詳見解析
【解析】
試題分析:(Ⅰ)將函數(shù)的反函數(shù)求出來,可得,
再由 得
是以2為首項,l為公差的等差數(shù)列,由此可得數(shù)列{}的通項公式
(Ⅱ)求出函數(shù)的反函數(shù)在點處的切線的截距即得
將,的通項公式代入得:
這是一個二次函數(shù),但n只取正整數(shù),畫出圖象可以看出當(dāng)對稱軸介于與之間的時候,就僅有最小,,解這個不等式即可得的取值范圍
(Ⅲ)由題設(shè)可得:結(jié)合待證不等式可看出,可將這個等式兩邊取倒數(shù),這樣可得: ,從而
又遞推公式可知,各項為正,所以
試題解析:(Ⅰ)
∴函數(shù)的反函數(shù)
則得
是以2為首項,l為公差的等差數(shù)列,故 (3分)
(Ⅱ) 在點處的切線方程為
令, 得
(6分)
依題意,僅當(dāng)時取得最小值,
,解之
∴的取值范圍為 (8分)
(Ⅲ)故
又故,
又
故 (14分)
考點:1、數(shù)列與不等式;2、函數(shù)的反函數(shù);3、利用導(dǎo)數(shù)求切線
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本題滿分13分)已知函數(shù)的反函數(shù)為,.(1)若,求的取值范圍;(2)設(shè)函數(shù),當(dāng)時,求函數(shù)的值域.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(本小題滿分14分)
已知函數(shù)的反函數(shù)為,數(shù)列和滿足:,,函數(shù)的圖象在點處的切線在軸上的截距為.(Ⅰ)求數(shù)列{}的通項公式;
(Ⅱ)若數(shù)列的項僅最小,求的取值范圍;
(Ⅲ)令函數(shù),,數(shù)列滿足:,,且,其中.證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011屆河北省正定中學(xué)高三第四次月考數(shù)學(xué)理卷 題型:解答題
(本小題滿分12分)把正奇數(shù)列中的數(shù)按上小下大,左小右大的原則排列成如圖“三角形”所示的數(shù)表.設(shè)是位于這個三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第行,從左向右數(shù)第個數(shù).
(1)若,求的值;
(2)已知函數(shù)的反函數(shù)為,),若記三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第行各數(shù)的和為.
①求數(shù)列的前項的和.
②令設(shè)的前項之積為
,求證:
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年上海市浦東新區(qū)高三上學(xué)期期末考試(一模)理科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知函數(shù)的反函數(shù)為,則___________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011-2012學(xué)年河北省高三調(diào)研理科數(shù)學(xué)試卷(1) 題型:選擇題
已知函數(shù)的反函數(shù)為,且有,若,則的最小值為( 。
A.9 B. C.4 D.5
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