Question

已知函數(shù)f（x）=

x2

3

，g（x）=t

2

3

x-

2

3

t．
（1）當(dāng)t=8時(shí)，求函數(shù)y=f（x）-g（x）的單調(diào)區(qū)間：
（2）求證：當(dāng)t＞0時(shí)f（x）≥g（x）對任意正實(shí)數(shù)x都成立；
（3）若存在正實(shí)數(shù)x₀，使得g（x₀）≤4x₀-

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3

對任意正實(shí)數(shù)t都成立，請直接寫出滿足這樣條件的-個(gè)x₀的值（不必給出求解過程）．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．
（3）由（2）直接寫出滿足條件的x₀的值．

解答：解：（1）當(dāng)t=8時(shí)，g（x）=4x-

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3

，y=f（x）-g（x）=

x3

3

-4x+

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3

，
y'=x²-4，由y'＞0，得x＞2或x＜-2，
由y'＜0，得-2＜x＜2，
即函數(shù)y=f（x）-g（x）的單調(diào)的遞增區(qū)間為（-∞，-2）和（2，+∞）．
單調(diào)遞減區(qū)間為（-2，2）．
（2）設(shè)h（x）=f（x）-g（x），
則h′(x)=f′(x)-g′(x)=x2-t

2

3

，由h′(x)=x2-t

2

3

=0得x=t

1

3

．
當(dāng)x變化時(shí)，h'（x），h（x）的變化情況如下表：

x	（0，t 1 3 ）	t 1 3	（t 1 3 ，+∞）
h'（x）	-		+
h（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

所以h（x）在（0，+∞）上有唯一的極小值h(t

1

3

)，所以h（x）在（0，+∞）上的最小值h(t

1

3

)=0．
故當(dāng)t＞0時(shí)f（x）≥g（x）對任意正實(shí)數(shù)x都成立．
（3）若存在正實(shí)數(shù)x₀=2使得g（x₀）≤4x₀-

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3

對任意正實(shí)數(shù)t都成立．

點(diǎn)評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大．