Question

（理科）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為1，且焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點(diǎn)Q（-1，0）的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，交直線x=-4于點(diǎn)E，且

AQ

=λ

QB

，

AE

=μ

EB

．求證：λ+μ為定值，并計(jì)算出該定值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為1，且焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形，建立方程組，求出幾何量，從而寫出橢圓的方程即可；
（2）易知直線l斜率存在，將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再利用韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)公式即可求得λ+μ值．

解答：（1）解：∵橢圓過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為1，且焦點(diǎn)與短軸兩端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形
∴

2b a =1 2b=a

，∴a=2，b=1，∴求橢圓的方程為

x2

4

+y2=1；
（2）證明：由題意直線l斜率存在，令l：y=k（x+1），A（x₁y₁），B（x₂，y₂），E（-4，y₀）
直線方程代入橢圓方程，消去y可得（1+4k²）x²+8k²x+4k²-4=0，∴△=48k²+16＞0
x₁+x₂=-

8k2

1+4k2

，x₁x₂=

4k2-4

1+4k2

∵

AQ

=λ

QB

，∴λ=

x1+1

x2+1

∵

AE

=μ

EB

，∴μ=

x1+4

x2+4

∴λ+μ=

x1+1

x2+1

+

x1+4

x2+4

=-

2x1x2+5(x1+x2)+8

(x2+1)(x2+4)

=

2× 4k2-4 1+4k2 +5× 8k2 1+4k2 +8

(x2+1)(x2+4)

=0．

點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓錐曲線的綜合問題、向量在幾何中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．