【題目】如圖,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C,∠BCC1= ,AB=BB1=2,BC=1,D為CC1中點(diǎn).
(1)求證:DB1⊥平面ABD;
(2)求二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值.

【答案】
(1)證明:∵BC=B1C1=1,CD=C1D= BB1=1,∠BCC1= ,∠B1C1D=π﹣∠BCC1= ,

∴BD=1,B1D= ,

∴BB12=BD2+B1D2,∴BD⊥B1D.

∵AB⊥平面BB1C1C,BD平面BB1C1C,

∴AB⊥B1D,又AB平面ABD,BD平面ABD,AB∩BD=B,

∴DB1⊥平面ABD


(2)解:以B為原點(diǎn),以BB1,BA所在直線為x軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系B﹣xyz,如圖所示:

則A(0,0,2),D( , ,0),B1(2,0,0),A1(2,0,2),

=( ,﹣ ,0), =(﹣2,0,2), =(0,0,2).

設(shè)平面AB1D的法向量為 =(x1,y1,z1),平面A1B1D的法向量為 =(x2,y2,z2),

, ,即 ,

令x1=1得 =(1, ,1),令x2=1得 =(1, ,0).

∴cos< , >= = =

∵二面角A﹣B1D﹣A1是銳角,

∴二面角A﹣B1D﹣A1的平面角的余弦值為


【解析】(1)利用余弦定理計(jì)算BD,B1D,再由勾股定理的逆定理得出BD⊥B1D,由AB⊥平面BB1C1C得出AB⊥B1D,于是得出B1D⊥平面ABD;(2)以B為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,求出平面AB1D的法向量 ,平面A1B1D的法向量 ,計(jì)算cos< , >即可得出二面角的余弦值.

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