Question

【題目】已知數列{an}滿足a1=1，Sn=2n﹣an（n∈N*）．
（1）計算a2 ， a3 ， a4 ， 并由此猜想通項公式an；
（2）用數學歸納法證明（1）中的猜想．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時，a1=S1=1．

當n=2時，a1+a2=S2=2×2﹣a2，∴a2= ．

當n=3時，a1+a2+a3=S3=2×3﹣a3，∴a3= ．

當n=4時，a1+a2+a3+a4=S4=2×4﹣a4，∴a4= ，

由此猜想an= （n∈N*）

（2）解：證明：①當n=1時，a1=S1=1，結論成立．

②假設n=k（k≥1且k∈N*）時，結論成立，即ak=

那么n=k+1（k≥1且k∈N*）時，ak+1=Sk+1﹣Sk=2（k+1）﹣ak+1﹣2k+ak=2+ak﹣ak+1．

∴2ak+1=2+ak=2+ = ．

∴ak+1= ，

由①②可知，對n∈N*，an= 都成立

【解析】（1）根據Sn=2n﹣an ， 利用遞推公式，求出a2 ， a3 ， a4 ． （2）總結出規(guī)律求出an ， 然后利用歸納法進行證明，檢驗n=1時等式成立，假設n=k時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立．