(2007•閔行區(qū)一模)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A>0,0<ω<2,|φ|<
π
2
)
的一系列對應值如下表:
x -
π
6
π
3
6
3
11π
6
3
17π
6
y -1 1 3 1 -1 1 3
(1)根據(jù)表格提供的數(shù)據(jù)求函數(shù)y=f(x)的解析式;
(2)(文)當x∈[0,2π]時,求方程f(x)=2B的解.
(3)(理)若對任意的實數(shù)a,函數(shù)y=f(kx)(k>0),x∈(a,a+
3
]
的圖象與直線y=1有且僅有兩個不同的交點,又當x∈[0,
π
3
]
時,方程f(kx)=m恰有兩個不同的解,求實數(shù)m的取值范圍.
分析:(1)由已知中表格中提供的數(shù)據(jù),我們可以判斷出函數(shù)的最值及周期,進而A,B與最值的關系,ω與周期的關系,確定出A,B,ω的值,代入最大值點的坐標后,即可求出φ的值,進而得到函數(shù)的解析式.
(2)由(1)中所得的B值,我們可以構造出一個三角方程,根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)及已知中x∈[0,2π],可求出對應的x值,得到答案.
(3)若函數(shù)y=f(kx)(k>0),x∈(a,a+
3
]
的圖象與直線y=1有且僅有兩個不同的交點,則函數(shù)的周期為
3
,又由當x∈[0,
π
3
]
時,方程f(kx)=m恰有兩個不同的解,我們可以構造出一個關于m的不等式,解不等式即可得到實數(shù)m的取值范圍.
解答:解:(1)依題意,T=
ω
=2[
6
-(-
π
6
)]
,∴ω=1(2分)
B+A=3
B-A=-1
,解得
A=2
B=1
(5分)
f(
6
)=2sin(
6
+φ)=3,|φ|<
π
2
,解得φ=-
π
3
(7分)
f(x)=2sin(x-
π
3
)+1
為所求.(8分)
(2)文:由f(x)=2B,得sin(x-
π
3
)=
1
2
(10分)
∵x∈[0,2π],∴-
π
3
≤x-
π
3
3
(12分)
x-
π
3
=
π
6
x-
π
3
=
6
,即x=
π
2
,x=
6
為所求.(14分)
(3)理:由已知條件可知,函數(shù)y=f(kx)=2sin(kx-
π
3
)+1
的周期為
3
,
又k>0,∴k=3(10分)
t=3x-
π
3
,∵x∈[0,
π
3
]

t=3x-
π
3
∈[-
π
3
,
3
]

而sint在[-
π
3
,
π
2
]
上單調(diào)遞增,在[
π
2
,
3
]
上單調(diào)遞減,且sin
π
3
=sin
3
=
3
2
,
如圖∴sint=s在[-
π
3
3
]
上有兩個不同的解的充要條件是s∈[
3
2
,1)
,(12分)
∴方程f(x)=m恰有兩個不同的解的充要條件是m∈[
3
+1,3)
.(14分)
(注:單調(diào)區(qū)間寫成[-
π
2
,
π
2
]
、[
π
2
2
]
也行;直接數(shù)形結合得到正確結果,也可)
點評:本題考查的知識點是正弦型函數(shù)解析式的求法,三角方程的解法,正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì),其中(1)的關鍵是熟練掌握正弦型函數(shù)解析式中參數(shù)與函數(shù)性質(zhì)的關系,(2)的關鍵是熟練掌握正弦型函數(shù)的性質(zhì),(3)的關鍵是將已知,結合正弦函數(shù)的性質(zhì),轉(zhuǎn)化為一個關于m的不等式.
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an2+2
bn2-n+3
,bn=(1+
1
n
)bn
,其中a、b是實常數(shù).若
lim
n→∞
an=2
,
lim
n→∞
bn=e
1
2
,且a,b,c成等比數(shù)列,則c的值是
1
4
1
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