Question

已知函數(shù)y=

ax2+bx+c

，(a，b，c∈R，a＜0)的定義域為D，且點（s，f（t）），（s，t∈D）形成的圖形為正方形，則實數(shù)a=

-4

．

Answer 1

分析：由y=

ax2+bx+c

，(a，b，c∈R，a＜0)的定義域為D，知集合D是不空集．應(yīng)該是一個閉區(qū)間[x₁，x₂]，即D=[x₁，x₂]，其中，x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的兩個不等的實數(shù)根．由韋達定理得x₂-x₁=

(x2+x1)2-4x1x2

=

b2 a2  - 4c a

=

b2-4ac

a

．其中，差（x₂-x₁）也叫做區(qū)間[x₁，x₂]的長度．由此能求出a的值．

解答：解：∵y=

ax2+bx+c

，(a，b，c∈R，a＜0)的定義域為D，
∴集合D是不空集．應(yīng)該是一個閉區(qū)間[x₁，x₂]，即D=[x₁，x₂]，
其中，x₁，x₂是方程ax²+bx+c=0的兩個不等的實數(shù)根．
∴由韋達定理可得
x₂-x₁=

(x2+x1)2-4x1x2

=

b2 a2  - 4c a

=

b2-4ac

a

．
其中，差（x₂-x₁）也叫做區(qū)間[x₁，x₂]的長度．
∴定義域D的長度=

b2-4ac

a

，
∴在區(qū)間[x₁，x₂]上，恒有ax²+bx+c≥0．
∵a＞0
∴ax²+bx+c在區(qū)間[x₁，x₂]上有最大值和最小值．
∵max=

4ac-b2

4a

，
min=0．
∴y=

ax2+bx+c

，(a，b，c∈R，a＜0)的值域M為：M=[0，

max

]．
∴區(qū)間M的長度為

4ac-b2 4a

由題設(shè)知：兩個區(qū)間D（定義域）和M（值域）的長度相等．
∴

b2-4ac

a

=

4ac-b2 4a

，
兩邊平方，得

b2-4ac

a2

=

4ac-b2

4a

，
∴a²+4a=0
結(jié)合a＜0，得a=-4．
∴a=-4．
故答案為：-4．

點評：本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．