精英家教網(wǎng)如圖，點F（a，0）（a＞0），點P在y軸上運動，點M在x軸上運動，點N為動點，且
PM
•
PF
=0，
PN
+
PM
=
0
．
（1）求點N的軌跡C；
（2）過點F（a，0）的直線l（不與x軸垂直）與曲線C交于A、B兩點，設(shè)K（-a，0），
KA
與
KB
的夾角為θ，求證0＜θ＜
π
2
．
分析：（1）先設(shè)點N（x，y），然后可以得到向量
PM
、
PF
，進而根據(jù)
PN
+
PM
=
0
、
PM
•
PF
=0可得答案．
（2）先設(shè)出直線方程，然后和（1）中所求的軌跡方程聯(lián)立得到兩根之和與兩根之積，進而由
KA
•
KB
＞0得到答案．
解答：解：（1）設(shè)N（x，y）∵
PN
+
PM
=
0

∴M（-x，0），P（0，
y
2
）
PM
=（-X，-
y
2
），
PF
=（a，-
y
2
）
∵
PM
•
PF
=0∴
PM
•
PF
=-ax+
y2
4
=0
∴y2=4ax

（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）
∴直線l：y=k（x-a）
KA
=（x1+a，y1）
KB
=（x2+a，y2）
聯(lián)立
y=k(x-a)
y2=4ax
∴ky2-4ay-4ka2=0
∴y1+y2=
4a
k
，y1y2=-4a2，x1x2=a2，x1+x2=
2a(k2+2)
k2

∴
KA
•
KB
=（x1+a）（x2+a）+y1y2=x1x2+a（x1+x2）+a2+y1y2
=2a2+
2a2(k2+2)
k2
-4a2=
2a2(k2+2)
k2
-2a2=2a2(1+
2
k2
-1)=
4a2
k2
＞0
∴cosθ＞0∵θ∈[0，π]∴θ∈（0，
π
2
）
點評：本題主要考查向量的數(shù)量積運算和圓錐曲線的有關(guān)問題．在解決圓錐曲線的有關(guān)問題時，一般都是聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程求出兩根之和與兩根之積，然后 根據(jù)題意解題．
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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•焦作一模）已知函數(shù)f（x）的圖象過點（
π
4
，-
1
2
），它的導函數(shù)f′（x）=Acos（ωx+φ）（x∈R）的圖象的一部分如圖所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜
π
2
，為了得到函
數(shù)f（x）的圖象，只要將函數(shù)y=sinx（x∈R）的圖象上所有的點（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，點F是橢圓W：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦點，A、B分別是橢圓的右頂點與上頂點，橢圓的離心率為
1
2
，三角形ABF的面積為
3
3
2
，
（Ⅰ）求橢圓W的方程；
（Ⅱ）對于x軸上的點P（t，0），橢圓W上存在點Q，使得PQ⊥AQ，求實數(shù)t的取值范圍；
（Ⅲ）直線l：y=kx+m（k≠0）與橢圓W交于不同的兩點M、N （M、N異于橢圓的左右頂點），若以MN為直徑的圓過橢圓W的右頂點A，求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源：《第2章 圓錐曲線與方程》2013年單元測試卷（3）（解析版） 題型：解答題

如圖，點F（a，0）（a＞0），點P在y軸上運動，點M在x軸上運動，點N為動點，且．
（1）求點N的軌跡C；
（2）過點F（a，0）的直線l（不與x軸垂直）與曲線C交于A、B兩點，設(shè)K（-a，0），的夾角為θ，求證．

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科目：高中數(shù)學 來源：2011年高三數(shù)學復習（第8章 圓錐曲線）：8.10 向量在解析幾何中的應(yīng)用（解析版） 題型：解答題

如圖，點F（a，0）（a＞0），點P在y軸上運動，點M在x軸上運動，點N為動點，且．
（1）求點N的軌跡C；
（2）過點F（a，0）的直線l（不與x軸垂直）與曲線C交于A、B兩點，設(shè)K（-a，0），的夾角為θ，求證．

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