【題目】已知函數(shù).
(1)設(shè)是的極值點(diǎn).求,并求的單調(diào)區(qū)間;
(2)證明:當(dāng)時(shí),.
【答案】(1) a=;f(x)在(0,2)單調(diào)遞減,在(2,+∞)單調(diào)遞增.
(2)證明見(jiàn)解析.
【解析】分析:(1)先確定函數(shù)的定義域,對(duì)函數(shù)求導(dǎo),利用f ′(2)=0,求得a=,從而確定出函數(shù)的解析式,之后觀察導(dǎo)函數(shù)的解析式,結(jié)合極值點(diǎn)的位置,從而得到函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間;
(2)結(jié)合指數(shù)函數(shù)的值域,可以確定當(dāng)a≥時(shí),f(x)≥,之后構(gòu)造新函數(shù)g(x)=,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,從而求得g(x)≥g(1)=0,利用不等式的傳遞性,證得結(jié)果.
詳解:(1)f(x)的定義域?yàn)?/span>,f ′(x)=aex–.
由題設(shè)知,f ′(2)=0,所以a=.
從而f(x)=,f ′(x)=.
當(dāng)0<x<2時(shí),f ′(x)<0;當(dāng)x>2時(shí),f ′(x)>0.
所以f(x)在(0,2)單調(diào)遞減,在(2,+∞)單調(diào)遞增.
(2)當(dāng)a≥時(shí),f(x)≥.
設(shè)g(x)=,則
當(dāng)0<x<1時(shí),g′(x)<0;當(dāng)x>1時(shí),g′(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值點(diǎn).
故當(dāng)x>0時(shí),g(x)≥g(1)=0.
因此,當(dāng)時(shí),.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若集合的子集A中的每個(gè)元素均可表為兩個(gè)自然數(shù)(允許相同)的平方和,求集合A中元素個(gè)數(shù)的最大值.
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【題目】已知橢圓E: ,對(duì)于任意實(shí)數(shù)k,下列直線被橢圓E截得的弦長(zhǎng)與l:y=kx+1被橢圓E截得的弦長(zhǎng)不可能相等的是( )
A. kx+y+k=0 B. kx-y-1=0
C. kx+y-k=0 D. kx+y-2=0
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖6,四棱柱的所有棱長(zhǎng)都相等,,四邊形和四邊形為矩形.
(1)證明:底面;
(2)若,求二面角的余弦值.
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【題目】如圖,橢圓C:(a>b>0)的離心率為,其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2,1)的距離為.不過(guò)原點(diǎn)O的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn),且線段AB被直線OP平分.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ) 求ABP的面積取最大時(shí)直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦距為2,過(guò)短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)的圓的面積為,過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)作斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),線段的中點(diǎn)為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過(guò)點(diǎn)垂直于的直線與軸交于點(diǎn),且,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐中,平面,, ,,,,為側(cè)棱上一點(diǎn).
(1)若,求證:平面;
(2)求證:平面平面;
(3)在側(cè)棱上是否存在點(diǎn),使得平面? 若存在,求出線段的長(zhǎng);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線C:y=與直線(>0)交與M,N兩點(diǎn),
(Ⅰ)當(dāng)k=0時(shí),分別求C在點(diǎn)M和N處的切線方程;
(Ⅱ)y軸上是否存在點(diǎn)P,使得當(dāng)k變動(dòng)時(shí),總有∠OPM=∠OPN?說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,過(guò)右焦點(diǎn)作垂直于橢圓長(zhǎng)軸的直線交橢圓于兩點(diǎn),且為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓的方程;
(2) 設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn),若.
①求的值;
②求的面積的最小值.
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