Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=2x3+bx2+cx，其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象（如圖所示）經(jīng)過點(diǎn)（1，0），（2，0）． （Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）﹣m=0恰有2個(gè)根，求m的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依題意，可得f'（x）=6x2+2bx+c=0的解為x=1，x=2， 故 解得
所以f（x）=2x3﹣9x2+12x．
（Ⅱ）f'（x）=6x2﹣18x+12=6（x﹣1）（x﹣2），
當(dāng)f'（x）＞0時(shí)，x＜1或x＞2；
當(dāng)f'（x）＜0時(shí)，1＜x＜2．
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（﹣∞，1）和（2，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（1，2），
當(dāng)x=1時(shí)，f（x）極大=5，當(dāng)x=2時(shí)，f（x）極小=4．
故方程f（x）﹣m=0恰有2個(gè)根，得m=4或m=5
【解析】（Ⅰ）根據(jù)圖象可得得f'（x）=6x2+2bx+c=0的解為x=1，x=2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，聯(lián)立方程組求解即可；（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出相應(yīng)函數(shù)值，即可求實(shí)數(shù)m的值．
【考點(diǎn)精析】利用基本求導(dǎo)法則和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減．