已知動圓過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線相切，點(diǎn)C在上.

（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；

（2）設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為－的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn)，

①求線段AB的長；

②問：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由；

（1）y2=4x（2）;不存在


解析:

（1）設(shè)M（x，y），依題意有|MP|=|MN|，

所以|x+1|=.化簡得：.

（2）由題意得，直線AB的方程為y=－（x－1）.

由消y得3x2－10x+3=0，

解得x1=，x2=3.　所以A點(diǎn)坐標(biāo)為（），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，－2），

|AB|=|x1-x2|=.假設(shè)存在點(diǎn)C（－1，y），使△ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

①

②
 

由①－②得42+（y+2）2=（）2+（y－）2，

解得y=－.但y=－不符合①，

所以由①，②組成的方程組無解.

因此，直線l上不存在點(diǎn)C，使得△ABC是正三角形.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知動圓過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，點(diǎn)C在l上．
（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為-
3
的直線與曲線M相交于A，B兩點(diǎn)．
（i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由；
（ii）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動圓過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，點(diǎn)C在l上．
（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)P且斜率為-
3
的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的長；
（3）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2007•寶山區(qū)一模）已知動圓過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=-1相切．
（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)P，且傾斜角為120°的直線與曲線M相交于A，B兩點(diǎn)，A，B在直線l上的射影是A1，B1．
①求梯形AA1B1B的面積；
②若點(diǎn)C是線段A1B1上的動點(diǎn)，當(dāng)△ABC為直角三角形時，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知動圓過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，點(diǎn)C在l上．
（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（2）設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為-
3
的直線與曲線M相交于A、B兩點(diǎn)．問：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009年高考數(shù)學(xué)壓軸試卷集錦（1）（解析版） 題型：解答題

已知動圓過定點(diǎn)P（1，0），且與定直線l：x=-1相切，點(diǎn)C在l上．
（Ⅰ）求動圓圓心的軌跡M的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P，且斜率為-的直線與曲線M相交于A，B兩點(diǎn)．
（i）問：△ABC能否為正三角形？若能，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；若不能，說明理由；
（ii）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，求這種點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的取值范圍．

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