Question

【題目】設(shè)函數(shù)

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)， 恒成立，其中為的導(dǎo)函數(shù)，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）f（x）在（-∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增（2）2

【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)a的大小討論導(dǎo)函數(shù)是否變號(hào)：若a≤0，導(dǎo)函數(shù)恒非負(fù)，為單調(diào)增區(qū)間；若a＞0，導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化，先負(fù)后正，對(duì)應(yīng)先減后增（2）分類變量得 ，再利用導(dǎo)數(shù)求最小值：在極小值點(diǎn)取最小值，根據(jù)極值定義得 及零點(diǎn)存在定理確定范圍 ，化簡(jiǎn)最小值為，并確定其范圍為（2,3） ，因此可得正整數(shù)的最大值.

試題解析：（1）函數(shù)f（x）=ex-ax-2的定義域是R，f′（x）=ex-a，

若a≤0，則f′（x）=ex-a≥0，所以函數(shù)f（x）=ex-ax-2在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增

若a＞0，則當(dāng)x∈（-∞，lna）時(shí)，f′（x）=ex-a＜0；

當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，f′（x）=ex-a＞0；

所以，f（x）在（-∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增

（2）由于a=1，

令，，

令，在單調(diào)遞增，

且在上存在唯一零點(diǎn)，設(shè)此零點(diǎn)為，則

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，

，

由，又

所以的最大值為2