Question

如圖在空間直角坐標(biāo)系中BC=2，原點O是BC的中點，點A的坐標(biāo)是（

3

2

，

1

2

，0），點D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．
（I）求向量

OD

的坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)向量

AD

和

BC

的夾角為θ，求cosθ的值．

Answer 1

分析：（1）過D作DE⊥BC，垂足為E，根據(jù)題意可得BD=1，CD=

3

，所以DE=CD•sin30°=

3

2

．即可得到OE=OB-BE=OB-BD•cos60°=1-

1

2

=

1

2

，進(jìn)而得到點D的坐標(biāo)．
（2）依題意可得：分別求出

AD

和

BC

的坐標(biāo)表示，進(jìn)而得到答案．

解答：解：（1）過D作DE⊥BC，垂足為E，
在Rt△BDC中，因為∠BDC=90°，∠DCB=30°，BC=2，
所以可得BD=1，CD=

3

，
∴DE=CD•sin30°=

3

2

．
所以O(shè)E=OB-BE=OB-BD•cos60°=1-

1

2

=

1

2

，
∴D點坐標(biāo)為（0，-

1

2

，

3

2

），
所以

OD

=（0，-

1

2

，

3

2

）．
（2）依題意可得：

OA

=(

3

2

，

1

2

，0)，

OB

=(0，-1，0)，

OC

=(0，1，0)，
所以

AD

=

OD

-

OA

=(-

3

2

，-1，

3

2

)，

BC

=

OC

-

OB

=(0，2，0)．
因為向量

AD

和

BC

的夾角為θ，
所以cosθ=

AD • BC

| AD |•| BC |

=

- 3 2 ×0+(-1)×2+ 3 2 ×0

(- 3 2 )2+(-1)2+( 3 2 )2 • 02+22+02

=-

1

5

10

．

點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)而得到線面關(guān)系建立坐標(biāo)系，再利用向量的有關(guān)知識解決空間問題．