【題目】在正方體中,已知點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng),則下列四個(gè)命題中:①三棱錐的體積不變;②;③當(dāng)中點(diǎn)時(shí),二面角 的余弦值為;④若正方體的棱長(zhǎng)為2,則的最小值為;其中說(shuō)法正確的是____________(寫出所有說(shuō)法正確的編號(hào))

【答案】①②④

【解析】

①∵,∴平面,得出上任意一點(diǎn)到平面的距離相等,所以判斷命題①;

②由已知得出點(diǎn)P在面上的射影在上,根據(jù)線面垂直的判定和性質(zhì)或三垂線定理,可判斷命題②;

③當(dāng)中點(diǎn)時(shí),以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角系,如下圖所示,運(yùn)用二面角的空間向量求解方法可求得二面角的余弦值,可判斷命題③;

④過(guò)作平面于點(diǎn),做點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱的點(diǎn),使得點(diǎn)在平面內(nèi),根據(jù)對(duì)稱性和兩點(diǎn)之間線段最短,可求得當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí),在一條直線上,取得最小值.可判斷命題④.

①∵,∴平面,所以上任意一點(diǎn)到平面的距離相等,所以三棱錐的體積不變,所以①正確;
在直線上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)P在面上的射影在上,所以DP在面上的射影在上,又,所以,所以②正確;

③當(dāng)中點(diǎn)時(shí),以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn),建立空間直角系,如下圖所示,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2.

:,,所以,

設(shè)面的法向量為,則,即,令,則,

設(shè)面的法向量為, ,即,

,由圖示可知,二面角 是銳二面角,所以二面角的余弦值為,所以不正確;

④過(guò)作平面于點(diǎn),做點(diǎn)關(guān)于面對(duì)稱的點(diǎn),使得點(diǎn)在平面內(nèi),

,所以,當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)時(shí),在一條直線上,取得最小值.

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為2,所以設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,,所以,

所以,又所以,

所以,,,故④正確.
故答案為:①②④.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】月份的二中迎來(lái)了國(guó)內(nèi)外的眾多賓客,其中很多人喜歡詢問(wèn)團(tuán)隊(duì)模式,為了了解詢問(wèn)團(tuán)隊(duì)模式是否與性別有關(guān),在月期間,隨機(jī)抽取了人,得到如下所示的列聯(lián)表:

關(guān)心團(tuán)隊(duì)

不關(guān)心團(tuán)隊(duì)

合計(jì)

男性

12

女性

36

合計(jì)

80

1)若在這人中,按性別分層抽取一個(gè)容量為的樣本,男性應(yīng)抽人,請(qǐng)將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并據(jù)此資料能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)前提下,認(rèn)為關(guān)心團(tuán)隊(duì)與性別有關(guān)系?

2)若以抽取樣本的頻率為概率,從月來(lái)賓中隨機(jī)抽取人贈(zèng)送精美紀(jì)念品,記這人中關(guān)心團(tuán)隊(duì)人數(shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.

附:

0.100

0.050

0.010

0.001

2.706

3.841

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】如圖,是南北方向的一條公路,是北偏東方向的一條公路,某風(fēng)景區(qū)的一段邊界為曲線.為方便游客光,擬過(guò)曲線上的某點(diǎn)分別修建與公路垂直的兩條道路,,且,的造價(jià)分別為5萬(wàn)元百米,40萬(wàn)元百米,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,則曲線符合函數(shù)模型,設(shè),修建兩條道路,的總造價(jià)為萬(wàn)元,題中所涉及的長(zhǎng)度單位均為百米.

1)求解析式;

2)當(dāng)為多少時(shí),總造價(jià)最低?并求出最低造價(jià).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】某中學(xué)有位學(xué)生申請(qǐng)、、三所大學(xué)的自主招生.若每位學(xué)生只能申請(qǐng)其中一所大學(xué),且申請(qǐng)其中任何一所大學(xué)是等可能的.

1)求恰有人申請(qǐng)大學(xué)的概率;

2)求被申請(qǐng)大學(xué)的個(gè)數(shù)的概率分布列與數(shù)學(xué)期望

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】以下三個(gè)命題:①在勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上,質(zhì)檢員每10分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項(xiàng)指標(biāo)檢測(cè),這樣的抽樣是分層抽樣;②若兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng),則相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越接近于1;③對(duì)分類變量的隨機(jī)變量的觀測(cè)值來(lái)說(shuō),越小,判斷有關(guān)系的把握越大;其中真命題的個(gè)數(shù)為(

A.3B.2C.1D.0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為了保障全國(guó)第四次經(jīng)濟(jì)普查順利進(jìn)行,國(guó)家統(tǒng)計(jì)局從東部選擇江蘇, 從中部選擇河北. 湖北,從西部選擇寧夏, 從直轄市中選擇重慶作為國(guó)家綜合試點(diǎn)地區(qū),然后再逐級(jí)確定普查區(qū)域,直到基層的普查小區(qū).在普查過(guò)程中首先要進(jìn)行宣傳培訓(xùn),然后確定對(duì)象,最后入戶登記. 由于種種情況可能會(huì)導(dǎo)致入戶登記不夠順利,這為正式普查提供了寶貴的試點(diǎn)經(jīng)驗(yàn). 在某普查小區(qū),共有 50 家企事業(yè)單位,150 家個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶,普查情況如下表所示:

普查對(duì)象類別

順利

不順利

合計(jì)

企事業(yè)單位

40

10

50

個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶

100

50

150

合計(jì)

140

60

200

(1)寫出選擇 5 個(gè)國(guó)家綜合試點(diǎn)地區(qū)采用的抽樣方法;

(2)根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為“此普查小區(qū)的入戶登記是否順利與普查對(duì)象的類別有關(guān)”;

(3)以頻率作為概率, 某普查小組從該小區(qū)隨機(jī)選擇 1 家企事業(yè)單位,3 家個(gè)體經(jīng)營(yíng)戶作為普查對(duì)象,入戶登記順利的對(duì)象數(shù)記為, 寫出的分布列,并求的期望值.

附:

0.10

0.010

0.001

2.706

6.635

10.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】已知點(diǎn)A(0,-2),橢圓E (a>b>0)的離心率為,F是橢圓E的右焦點(diǎn),直線AF的斜率為O為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)E的方程;

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線lE相交于PQ兩點(diǎn).當(dāng)OPQ的面積最大時(shí),求l的方程.

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【題目】(本題滿分15分)已知點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)軸的垂線,垂足為,點(diǎn)滿足 記點(diǎn)的軌跡為曲線

)求曲線的方程;

)設(shè),點(diǎn)在曲線上,且直線與直線的斜率之積為,求的面積的最大值

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】唐詩(shī)是中國(guó)文學(xué)的瑰寶.為了研究計(jì)算機(jī)上唐詩(shī)分類工作中檢索關(guān)鍵字的選取,某研究人員將唐詩(shī)分成7大類別,并從《全唐詩(shī)》48900多篇唐詩(shī)中隨機(jī)抽取了500篇,統(tǒng)計(jì)了每個(gè)類別及各類別包含“花”、“山”、“簾”字的篇數(shù),得到下表:

愛(ài)情婚姻

詠史懷古

邊塞戰(zhàn)爭(zhēng)

山水田園

交游送別

羈旅思鄉(xiāng)

其他

總計(jì)

篇數(shù)

100

64

55

99

91

73

18

500

含“山”字的篇數(shù)

51

48

21

69

48

30

4

271

含“簾”字的篇數(shù)

21

2

0

0

7

3

5

38

含“花”字的篇數(shù)

60

6

14

17

32

28

3

160

1)根據(jù)上表判斷,若從《全唐詩(shī)》含“山”字的唐詩(shī)中隨機(jī)抽取一篇,則它屬于哪個(gè)類別的可能性最大,屬于哪個(gè)類別的可能性最小,并分別估計(jì)該唐詩(shī)屬于這兩個(gè)類別的概率;

2)已知檢索關(guān)鍵字的選取規(guī)則為:

①若有超過(guò)95%的把握判斷“某字”與“某類別”有關(guān)系,則“某字”為“某類別”的關(guān)鍵字;

②若“某字”被選為“某類別”關(guān)鍵字,則由其對(duì)應(yīng)列聯(lián)表得到的的觀測(cè)值越大,排名就越靠前;

設(shè)“山”“簾”“花”和“愛(ài)情婚姻”對(duì)應(yīng)的觀測(cè)值分別為,.已知,,請(qǐng)完成下面列聯(lián)表,并從上述三個(gè)字中選出“愛(ài)情婚姻”類別的關(guān)鍵字并排名.

屬于“愛(ài)情婚姻”類

不屬于“愛(ài)情婚姻”類

總計(jì)

含“花”字的篇數(shù)

不含“花”的篇數(shù)

總計(jì)

附:,其中.

0.05

0.025

0.010

3.841

5.024

6.635

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同步練習(xí)冊(cè)答案