Question

設，x=f（x）有唯一解，，f（x_n）=x_n+1（n∈N*）．
（Ⅰ）求x₂₀₀₄的值；
（Ⅱ）若，且，求證：b₁+b₂+…+b_n-n＜1；
（Ⅲ）是否存在最小整數(shù)m，使得對于任意n∈N*有成立，若存在，求出m的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

解（Ⅰ）由，可以化為ax（x+2）=x，
∴ax²+（2a-1）x=0，
由△=（2a-1）²=0得
當且僅當時，x=f（x）有惟一解x=0，
從而…（1分）
又由已知f（x_n）=x_n+1得：，
∵，
即
∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列…（3分）
∴，
∴
又∵，
∴，即…（4分）
∵…（5分）
故…（6分）
（Ⅱ）證明：∵，
∴…（7分）
∴
=…（8分）
∴
=…（10分）
（Ⅲ）由于，若恒成立，
∵，
∴，
∴m＞2，而m為最小正整數(shù)，
∴m=3…（12分）
分析：（I）由，可以化為ax（x+2）=x，令△=（2a-1）²=0求出a的值，代入f（x）得到，利用對稱數(shù)列的通項公式求出，進一步求出x₂₀₀₄的值；
（II）由已知求出b_n根據(jù)其特點將其寫成，利用裂項求和的方法求出b₁+b₂+…+b_n-n得證．
（III）將代入得到恒成立，求出，
進一步求出m的值．
點評：求數(shù)列的前n項和的方法，應該先求出數(shù)列的通項，根據(jù)數(shù)列通項的特點選擇合適的求和方法，屬于難題．