Question

已知函數(shù)，，其中，為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）若在處的切線與直線垂直，求的值；

（2）求在上的最小值；

（3）試探究能否存在區(qū)間，使得和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性？若能存在，說明區(qū)間的特點，并指出和在區(qū)間上的單調(diào)性；若不能存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）；（2）

（3）當(dāng)時，不能存在區(qū)間，使得和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；當(dāng)時，存在區(qū)間，使得和在區(qū)間上均為減函數(shù)．

【解析】

試題分析：（1）切點處的導(dǎo)數(shù)值，即為切線的斜率，根據(jù)在處的切線與直線垂直，斜率乘積為，建立的方程；

（2）遵循求導(dǎo)數(shù)、求駐點、討論區(qū)間單調(diào)性、確定極值（最值）；

（3）求的定義域為，及導(dǎo)數(shù) ．

根據(jù)時，，知在上單調(diào)遞減．

重點討論的單調(diào)性．

注意到其駐點為，故應(yīng)討論：

①， ②的情況，作出判斷．

綜上，當(dāng)時，不能存在區(qū)間，使得和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；當(dāng)時，存在區(qū)間，使得和在區(qū)間上均為減函數(shù)．

試題解析：（1），，

在處的切線與直線垂直，

3分

（2）的定義域為，且 ．

令，得． 4分

若，即時，，在上為增函數(shù)，；5分

若，即時，，在上為減函數(shù)，

； 6分

若，即時，

由于時，；時，，

所以

綜上可知 8分

（3）的定義域為，且 ．

時，，在上單調(diào)遞減． 9分

令，得

①若時，，在上，單調(diào)遞增，由于在上單調(diào)遞減，所以不能存在區(qū)間，使得和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性； 10分

②若時，，在上，單調(diào)遞減；

在上，單調(diào)遞增．由于在上單調(diào)遞減，存在區(qū)間，使得和在區(qū)間上均為減函數(shù)．

綜上，當(dāng)時，不能存在區(qū)間，使得和在區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；當(dāng)時，存在區(qū)間，使得和在區(qū)間上均為減函數(shù)． 13分

考點：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最（極）值，轉(zhuǎn)化與化歸思想．