【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD 平面ABCD,PA PD ,PA=PD,AB AD,AB=1,AD=2,AC=CD= ,
(1)求證:PD 平面PAB;
(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;
(3)在棱PA上是否存在點M,使得BMll平面PCD?若存在,求 的值;若不存在,說明理由。

【答案】
(1)

證明:∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,

且AB⊥AD,AB平面ABCD,

∴AB⊥平面PAD,

∵PD平面PAD,

∴AB⊥PD,

又PD⊥PA,且PA∩AB=A,

∴PD⊥平面PAB;


(2)

解:如圖:

中點為 ,連結(jié)

為原點,如圖建系

易知P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,﹣1,0),C(2,0,0),

, ,

設(shè) 為面 的法向量,令

,則 與面 夾角


(3)

解:假設(shè)存在 點使得

設(shè) ,

由(2)知 , ,

, 的法向量

∴綜上,存在 點,即當 時, 點即為所求


【解析】(1)由已知結(jié)合面面垂直的性質(zhì)可得AB⊥平面PAD,進一步得到AB⊥PD,再由PD⊥PA,由線面垂直的判定得到PD⊥平面PAB;
(2)取AD中點為O,連接CO,PO,由已知可得CO⊥AD,PO⊥AD.以O(shè)為坐標原點,建立空間直角坐標系,求得P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,﹣1,0),C(2,0,0),進一步求出向量 的坐標,再求出平面PCD的法向量 ,設(shè)PB與平面PCD的夾角為θ,由 求得直線PB與平面PCD所成角的正弦值;
(3)假設(shè)存在M點使得BM∥平面PCD,設(shè) ,M(0,y1 , z1),由 可得M(0,1﹣λ,λ), ,由BM∥平面PCD,可得 ,由此列式求得當 時,M點即為所求.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用空間中直線與平面之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握直線在平面內(nèi)—有無數(shù)個公共點;直線與平面相交—有且只有一個公共點;直線在平面平行—沒有公共點.

練習(xí)冊系列答案
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8

9

7

9

7

6

10

10

8

6

10

9

8

6

8

7

9

7

8

8

(1)計算甲、乙兩人射箭命中環(huán)數(shù)的平均數(shù)和標準差;

(2)比較兩個人的成績,然后決定選擇哪名學(xué)生參加射箭比賽.

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②求直線AB的斜率的最小值.

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