Question

下列說法正確的為

①③④

．
①函數(shù)y=f（x）與直線x=l的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0或l；
②a∈（

1

4

，+∞）時(shí)，函數(shù)y=lg（x²+x+a）的值域?yàn)镽；
③函數(shù)y=f（2-x）與函數(shù)y=f（x-2）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；
④若函數(shù)f（x）=a^x，則?x₁，?x₂∈R，都有f（

x1+x2

2

）＜

f(x1)+f(x2)

2

；
⑤若函數(shù)f(x)=log

2

x，則?x₁，x₂∈（0，+∞），都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＜0．

Answer 1

分析：①根據(jù)函數(shù)的定義可知，對(duì)任意的x都有唯一的y與之對(duì)應(yīng)，當(dāng)x=1不在定義域內(nèi)時(shí)，y=f（x）與x=1沒有交點(diǎn)，當(dāng)x=1在定義域時(shí)，函數(shù)y=f（x）與直線x=l的交點(diǎn)為l個(gè)；
②a∈（

1

4

，+∞）時(shí)，例如a=

5

4

時(shí)，函數(shù)y=lg（x²+x+a）＞0；
③函數(shù)y=f（2-x）圖象上任取一點(diǎn)P（x，y），其關(guān)于直線x=2對(duì)稱對(duì)稱的點(diǎn)Q（4-x，y），把Q代入y=f（x-2）=f（4-x-2）=f（2-x），可判斷
④利用基本不等式可得，

f(x1)+f(x2)

2

=

ax1+ax2

2

≥

ax1•ax2

=a

x1+x2

2

=f（

x1+x2

2

）=a

x1+x2

2

⑤函數(shù)f(x)=log

2

x在（0，+∞）單調(diào)遞增，則由單調(diào)性的定義可知有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0

解答：解：①根據(jù)函數(shù)的定義可知，對(duì)任意的x都有唯一的y與之對(duì)應(yīng)，當(dāng)x=1不在定義域內(nèi)時(shí)，y=f（x）與x=1沒有交點(diǎn)，當(dāng)x=1在定義域時(shí)，函數(shù)y=f（x）與直線x=l的交點(diǎn)為l個(gè)，從而可得y=f（x）與x=1的交點(diǎn)有1個(gè)或0個(gè)，故①正確
②a∈（

1

4

，+∞）時(shí)，例如a=

5

4

時(shí)，t=x2+x+a=(x+

1

2

)2+a-

1

4

＞1，則函數(shù)y=lg（x²+x+a）＞0；此時(shí)函數(shù)的值域不為R，②錯(cuò)誤
③函數(shù)y=f（2-x）圖象上任取一點(diǎn)P（x，y），關(guān)于直線x=2對(duì)稱對(duì)稱的點(diǎn)Q（4-x，y），把Q代入y=f（x-2）=f（4-x-2）=f（2-x），即函數(shù)y=f（2-x）上的任意一點(diǎn)關(guān)于直線x=2對(duì)稱對(duì)稱的點(diǎn)在y=f（x-2）上，即y=f（2-x）與函數(shù)y=f（x-2）的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱；③正確
④若函數(shù)f（x）=a^x，

f(x1)+f(x2)

2

=

ax1+ax2

2

≥

ax1•ax2

=a

x1+x2

2

=f（

x1+x2

2

）=a

x1+x2

2

，正確
⑤函數(shù)f(x)=log

2

x在（0，+∞）單調(diào)遞增，則由單調(diào)性的定義可知有，當(dāng)x₁＞x₂時(shí)，f（x₁）＞f（x₂），即

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，錯(cuò)誤
故答案為①③④

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的定義，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在值域求解中的應(yīng)用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性及基本不等式的應(yīng)用．