Question

已知方向向量為的直線l過橢圓的焦點以及點（0，），直線l與橢圓C交于A、B兩點，且A、B兩點與另一焦點圍成的三角形周長為．
（1）求橢圓C的方程；
（2）過左焦點F₁且不與x軸垂直的直線m交橢圓于M、N兩點，（O坐標原點），求直線m的方程．

Answer 1

解：（1）l：y=，
直線l與x軸交點即為橢圓的右焦點F₂（2，0），
∴c=2，
由已知△F₁AB周長為4，
則4a=4，即a=，
∴b=，
故橢圓方程為．
（2）橢圓的左焦點為F₁（-2，0），則直線m的方程為y=k（x+2），
代入橢圓方程，得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，，
∵===||•||cos∠MON≠0，
∴sib，即，
∵=，
原點O到m的距離d=，
則==，
解得，
∴m的方程為．
分析：（1）l：y=，直線l與x軸交點即為橢圓的右焦點F₂（2，0），故c=2，由已知△F₁AB周長為4，知a=，由此能求出橢圓方程．
（2）橢圓的左焦點為F₁（-2，0），則直線m的方程為y=k（x+2），代入橢圓方程，得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則，，由此能求出m的方程．
點評：本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數(shù)學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．