Question

如圖，正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為，點(diǎn)在棱上．
（1）若，求證：直線(xiàn)平面；
（2）是否存在點(diǎn)，使平面⊥平面，若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）請(qǐng)指出點(diǎn)的位置，使二面角平面角的大小為．

Answer 1

（1）略（2）不存在（3）點(diǎn)在棱上且

（1）證：連接交于點(diǎn)，            ……（1分）
在平行四邊形中，
有，又                                          ……（2分）
∴為的中位線(xiàn)，從而，                         
又平面∴直線(xiàn)平面；                          ……（3分）
（2）解：假設(shè)存在點(diǎn)，使平面⊥平面，
過(guò)點(diǎn)作于，則平面，
又過(guò)作于，則平面，                   ……（5分）
而過(guò)平面外一點(diǎn)有且僅有一條直線(xiàn)與已知平面垂直，故、應(yīng)重合于點(diǎn)，此時(shí)應(yīng)有，故，
又點(diǎn)在棱上，故，
顯然矛盾，故不存在這樣的點(diǎn)，使平面⊥平面．         ……（7分）

（3）解：連接，過(guò)作于．由（2）中的作法可知
為二面角平面角，                                ……（8分）
設(shè)，則，                                                   
則可得，，
，                                  ……（10分）
∴．∴