設(shè)函數(shù)f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+1,(a∈R),當x∈[1,3]時,f(x)的最小值為5,則a的值為
2
2
分析:求出原函數(shù)的導函數(shù),由導函數(shù)小于0根據(jù)a的不同取值范圍得到原函數(shù)在區(qū)間[1,3]上的單調(diào)性,利用單調(diào)性求出當x∈[1,3]時,f(x)的最小值為5的a的值,滿足a的取值范圍的保留,不滿足的舍掉,從而求出a的值.
解答:解:由f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+1,得
f′(x)=6x2-6(a+1)x+6a,
令f'(x)<0,得(x-a)(x-1)<0
當a≤1時,a<x≤1,f(x)在[1,3]為單調(diào)增,所以在x=1處有最小值,
即f(1)=2-3(a+1)+6a=4,解得a=
5
3
(舍去);
當1<a<3時,1<x<a,f(x)在[1,a]單調(diào)減,在[a,3]單調(diào)增,所以在x=a處有最小值,
即f(a)=2a3-3(a+1)a2+6a2=4,
即a3-3a2+4=0,即(a3+1)-3(a2-1)=0,
即(a+1)(a-2)2=0,解得a=2或a=-1(舍去).
當a≥3時,f(x)在[1,3]上為單調(diào)減,所以在x=3處有最小值,
f(3)=54-27(a+1)+18a=4,解得a=
23
9
(舍去).
所以當x∈[1,3],f(x)的最小值為5時a的值為2.
故答案為2.
點評:本題考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,考查了分類討論的數(shù)學思想方法,通過正確的分類,利用導函數(shù)的符號判處函數(shù)在區(qū)間[1,3]內(nèi)的單調(diào)情況是解決該題的關(guān)鍵,是難題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

2、設(shè)函數(shù)f(x)=2x+3,g(x)=3x-5,則f(g(1))=
-1

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

給定實數(shù)a(a≠
12
),設(shè)函數(shù)f(x)=2x+(1-2a)ln(x+a)(x>-a,x∈R),f(x)的導數(shù)f′(x)的圖象為C1,C1關(guān)于直線y=x對稱的圖象記為C2
(Ⅰ)求函數(shù)y=f′(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)對于所有整數(shù)a(a≠-2),C1與C2是否存在縱坐標和橫坐標都是整數(shù)的公共點?若存在,請求出公共點的坐標;若不若存在,請說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
(2x+1)(3x+a)
x
為奇函數(shù),則a=
-
3
2
-
3
2

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=2x+x-4,則方程f(x)=0一定存在根的區(qū)間為( 。

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=
-2x+m2x+n
(m、n為常數(shù),且m∈R+,n∈R).
(Ⅰ)當m=2,n=2時,證明函數(shù)f(x)不是奇函數(shù);
(Ⅱ)若f(x)是奇函數(shù),求出m、n的值,并判斷此時函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案