Question

設函數f（x）=m-

x+3

，若存在實數a、b（a＜b），使f（x）在[a，b]上的值域為[a，b]，則實數m的取值范圍是（　�。�

• A．（-

  9

  4

  ，-2]
• B．[-2，-

  5

  4

  ）
• C．[-3，-

  9

  4

  ）
• D．[-

  9

  4

  ，-

  5

  4

  ]

Answer 1

分析：由題意可知函數為減函數，f（a）=m-

a+3

=b，f（b）=m-

b+3

=a，由兩式可得

a+3

+

b+3

=1，2m=a+b+1，換元可得p=

a+3

，q=

b+3

，故有p+q=1，a=p²-3，b=q²-3=（1-p）²-3，由二次函數區(qū)間的最值可得答案．

解答：解：由x+3≥0可得x≥-3，又由復合函數的單調性可知函數為減函數，
故有f（a）=m-

a+3

=b，f（b）=m-

b+3

=a，
兩式相減可得

a+3

-

b+3

=a-b，即

a+3

-

b+3

=（a+3）-（b+3），
即

a+3

+

b+3

=1，兩式相加可得2m=a+b+

a+3

+

b+3

=a+b+1，
記p=

a+3

，q=

b+3

，故有p+q=1，a=p²-3，b=q²-3=（1-p）²-3，
代入可得m=

a+b+1

2

=p²-p-2=(p-

1

2

)2-

9

4

，
又因為p+q=1且pq均為非負數，故0≤p≤1，由二次函數的值域可得：
當p=

1

2

時，q=

1

2

，與a＜b矛盾，m取不到最小值-

9

4

，當p=0或1時，m取最大值-2，
故m的范圍是（-

9

4

，-2]，
故選A

點評：本題考查函數的定義域和值域的求解，涉及換元法的應用和二次函數區(qū)間的最值，屬中檔題．