Question

已知☉O:x²+y²=1和定點(diǎn)A(2,1),由☉O外一點(diǎn)P(a,b)向☉O引切線(xiàn)PQ,切點(diǎn)為Q,且滿(mǎn)足|PQ|=|PA|.

(1)求實(shí)數(shù)a,b間滿(mǎn)足的等量關(guān)系.
(2)求線(xiàn)段PQ長(zhǎng)的最小值.
(3)若以P為圓心所作的☉P與☉O有公共點(diǎn),試求半徑取最小值時(shí)☉P的方程.

Answer 1

(1) 2a+b-3=   (2)   (3) (x-)²+(y-)²=(-1)²

(1)連接OP,

∵Q為切點(diǎn),
∴PQ⊥OQ,
由勾股定理有|PQ|²=|OP|²-|OQ|².
又由已知|PQ|=|PA|,故|PQ|²=|PA|².
即(a²+b²)-1²=(a-2)²+(b-1)².
化簡(jiǎn)得實(shí)數(shù)a,b間滿(mǎn)足的等量關(guān)系為:2a+b-3=0.
(2)方法一:由2a+b-3=0,得b=-2a+3.
|PQ|==
==.
故當(dāng)a=時(shí),|PQ|_min=.即線(xiàn)段PQ長(zhǎng)的最小值為.
方法二:由(1)知,點(diǎn)P在直線(xiàn)l:2x+y-3=0上.
∴|PQ|_min=|PA|_min,即求點(diǎn)A到直線(xiàn)l的距離.
∴|PQ|_min==.
(3)設(shè)☉P的半徑為R,
∵☉P與☉O有公共點(diǎn),☉O的半徑為1,
∴|R-1|≤|OP|≤R+1.
即R≥||OP|-1|且R≤|OP|+1.
而|OP|==
=,
故當(dāng)a=時(shí),|OP|_min=.
此時(shí),b=-2a+3=,R_min=-1.
得半徑取最小值時(shí)☉P的方程為(x-)²+(y-)²=(-1)².