Question

（1）若不等式x²+4x+6-a≥0當-3≤x≤1時有解，求實數a的取值范圍；
（2）對任意a∈[-1，1]，函數f（x）=x²+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，求實數x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）原不等式等價于x²+4x+6≥a，因此問題轉化為函數y=x²+4x+6在[-3，1]上的最大值大于或等于a，結合二次函數的單調性算出當x=1時，y=x²+4x+6的最大值等于11，即可求出實數a的取值范圍；
（2）函數化簡為f（x）=g（a）=a（x-2）+x²-4x+4，是關于a的一次函數．因此根據一次函數的單調性，結合題意建立關于x的不等式組，解之即可得到實數x的取值范圍．
解答：解：（1）不等式x²+4x+6-a≥0，即x²+4x+6≥a
因此，原不等式當-3≤x≤1時有解，
即y=x²+4x+6在[-3，1]上的最大值大于或等于a
∵y=x²+4x+6=（x+2）²+2，
在[-3，-2]上是減函數；在[-2，1]上是增函數；
∴當x=1時，y=x²+4x+6的最大值等于11
所以不等式x²+4x+6-a≥0當-3≤x≤1時有解時a≤11，即實數a的取值范圍為（-∞，11]；
（2）∵f（x）=x²+（a-4）x+4-2a=a（x-2）+x²-4x+4，
可得f（x）=g（a）=a（x-2）+x²-4x+4，是關于a的一次函數
∴對任意a∈[-1，1]，函數f（x）=x²+（a-4）x+4-2a的值恒大于零，
即g（-1）＞0且g（1）＞0，可得，解之得x＜1或＞3
即滿足條件的實數x的取值范圍為（-∞，1]∪[3，+∞）．
點評：本題給出含有字母參數的函數，求不等式恒成立時參數的取值范圍．著重考查了二次函數、一次函數的圖象與性質和不等式恒成立的理解等知識，屬于中檔題．