Question

已知數列{a_n}是公差d≠0的等差數列，其前n項和為S_n．
（1）求證：點P1(1，

S1

1

)，P2(2，

S2

2

)，…，Pn(n，

Sn

n

)在同一條直線l₁上；
（2）過點Q₁（1，a₁），Q₂（2，a₂）作直線l₂，設l₁與l₂的夾角為θ，求tanθ的最大值．

Answer 1

分析：（1）要證明這些點都在一條直線上，就要找出這些點都過一點和斜率固定的直線方程，根據等差數列{a_n}的前k項的和公式化簡得到當k大于等于2時，經過計算得到每一個點與第一個點所求的斜率為定值，可得證；
（2）根據Q₁，Q₂的坐標表示出直線l₂，分別設l₁與l₂的傾斜角為α和β，則θ=|β-α|，兩邊都取正切，根據傾斜角的正切等于斜率及兩角差的正切函數公式化簡，利用基本不等式得到tanθ的最大值即可．

解答：解：（1）證明：因為等差數列{a_n}的公差d≠0，所以S_k=ka₁+

k(k-1)d

2

，

Sk

k

=a₁+

k-1

2

d
當k≥2（k∈N）時，

Sk k - S1 1

k-1

=

(a1+ k-1 2 d)-a1

k-1

=

1

2

d（d為常數），
所以P₂，P₃，…，P_n都在過點P₁（1，a）且斜率為常數

d

2

的直線l₁上（k=2，3，…，n）．
（2）直線l₂的方程為y-a₁=d（x-1），直線l₂的斜率為d．分別設l₁與l₂的傾斜角為α和β，則θ=|β-α|，tanα=

d

2

，tanβ=d，
則tanθ=|tan（β-α）|=|

d- d 2

1+d• d 2

|=

|d|

2+d2

=

1

2 |d| +|d|

≤

1

2 2 |d| • |d|

=

2

4

，當且經當

2

|d|

=|d|即|d|=

2

時取等號．
所以tanθ在|d|=2時的最大值為

2

4

．

點評：本題是一道中檔題，要求學生靈活運用等差數列的前n和公式化簡求值，掌握直線的傾斜角與斜率的關系，會利用基本不等式求函數的最大值．