Question

函數(shù)，其中a為常數(shù)．
（1）證明：對(duì)任意a∈R，函數(shù)y=f（x）圖象恒過(guò)定點(diǎn)；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，不等式f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）若對(duì)任意a∈[m，0）時(shí)，函數(shù)y=f（x）在定義域上恒單調(diào)遞增，求m的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，由此可得結(jié)論；
（2）利用f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，可得-2b≥f_min（x），求出函數(shù)的最小值，即可求實(shí)數(shù)b的取值范圍；
（3）對(duì)任意a∈[m，0）時(shí)，函數(shù)y=f（x）在定義域上恒單調(diào)遞增，等價(jià)于對(duì)任意a∈[m，0），f'（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立，即h（x）=x²+alnx-a≥0在x∈（0，+∞）恒成立，由此可得結(jié)論．
解答：（1）證明：令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，
∴函數(shù)y=f（x）圖象恒過(guò)定點(diǎn)（1，1）．                …（2分）
（2）解：當(dāng)a=1時(shí)，，
∴，即，
令f'（x）=0，得x=1．

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-		+
f（x）		極小值

∴f_min（x）=f（1）=1，
∵f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，
∴-2b≥f_min（x），即-2b≥1，
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍為．…（9分）
（3）解：，即，令h（x）=x²+alnx-a，
由題意可知，對(duì)任意a∈[m，0），f'（x）≥0在x∈（0，+∞）恒成立，
即h（x）=x²+alnx-a≥0在x∈（0，+∞）恒成立．
∵，令h'（x）=0，得（舍）或．
列表如下：

x	（0，）		（，+∞）
h'（x）	-		+
h（x）	↘	極小值	↗

∴，解得a≥-2e³．
∴m的最小值為-2e³．                                 …（16分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查恒成立問(wèn)題，確定函數(shù)的最值是關(guān)鍵．