(I)已知橢圓C的方程是
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,設斜率為k的直線l,交橢圓C于A、B兩點,AB的中點為M.證明:當直線l平行移動時,動點M在一條過原點的定直線上;
(Ⅱ)利用(I)所揭示的橢圓幾何性質,用作圖方法找出下面給定橢圓的中心,簡要寫出作圖步驟,并在圖中標出橢圓的中心.
分析:(I)設直線l的方程為y=kx+m且橢圓C的交點A(x1,y1)、B(x2,y2),直線方程和橢圓方程聯(lián)立進而可得x1+x2和y1+y2的表達式,進而可得AB中點M的坐標進而可判定AB的中點M在過原點的直線b2x+a2ky=0上.
(II)作兩條平行直線分別交橢圓于A、B和C、D,并分別取AB、CD的中點M、N,連接直線MN;又作兩條平行直線(與前兩條直線不平行)分別交橢圓于A1、B1和C1、D1,并分別取A1B1、C1D1的中點M1、N1,連接直線M1N1,那么直線MN和M1N1的交點O即為橢圓中心.
解答:解:(I)設直線l的方程為y=kx+m,與橢圓C的交點A(x1,y1)、B(x2,y2),
則有
y=kx+m
x2
a2
+
y2
b2
=1
,解得 (b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0,
∵△>0,∴m2<b2+a2k2,即 -
b2+a2k2
<m<
b2+a2k2

則 x1+x2=-
2a2km
b2+a2k2
y1+y2=kx1+m+kx2+m=
2b2m
b2+a2k2
,
∴AB中點M的坐標為(-
a2km
b2+a2k2
,
b2m
b2+a2k2
)

∴線段AB的中點M在過原點的直線 b2x+a2ky=0上.…(8分)
另解:也可以用點差法先求出
y0
x0
=-
b2
a2k
(其中(x0,y0)為AB的中點M的坐標),因此線段AB的中點M在過原點的直線 b2x+a2ky=0上.
(Ⅱ)如圖,作兩條平行直線分別交橢圓于A、B和C、D,并分別取AB、CD的中點M、N,連接直線MN;又作兩條平行直線(與前兩條直線不平行)分別交橢圓于A1、B1和C1、D1,并分別取A1B1、C1D1的中點M1、N1,連接直線M1N1,那么直線MN和M1N1的交點O即為橢圓中心.…(14分)
點評:本題主要考查了橢圓的標準方程和橢圓與直線的關系.綜合考查了學生對橢圓性質和利用韋達定理來解決橢圓與直線問題的掌握.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(1)求右焦點坐標是(2,0),且經過點(-2,-
2
)的橢圓的標準方程.
(2)已知橢圓C的方程是
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0).設斜率為k的直線l交橢圓C于A、B兩點,AB的中點為M.證明:當直線l平行移動時,動點M在一條過原點的定直線上.
(3)利用(2)所揭示的橢圓幾何性質,用作圖方法找出下面給定橢圓的中心,簡要寫出作圖步驟,并在圖中標出橢圓的中心.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網已知橢圓C的方程是
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0),點A,B分別是橢圓的長軸的左、右端點,
左焦點坐標為(-4,0),且過點P 
3
2
  
5
2
3
)

(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知F是橢圓C的右焦點,以AF為直徑的圓記為圓M,試問:過P點能否引圓M的切線,若能,求出這條切線與x軸及圓M的弦PF所對的劣弧圍成的圖形的面積;若不能,說明理由.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

(I)已知橢圓C的方程是數(shù)學公式,設斜率為k的直線l,交橢圓C于A、B兩點,AB的中點為M.證明:當直線l平行移動時,動點M在一條過原點的定直線上;
(Ⅱ)利用(I)所揭示的橢圓幾何性質,用作圖方法找出下面給定橢圓的中心,簡要寫出作圖步驟,并在圖中標出橢圓的中心.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源:2007-2008學年江蘇省連云港市贛榆高級中學高二(上)期中數(shù)學試卷(文科)(解析版) 題型:解答題

(I)已知橢圓C的方程是,設斜率為k的直線l,交橢圓C于A、B兩點,AB的中點為M.證明:當直線l平行移動時,動點M在一條過原點的定直線上;
(Ⅱ)利用(I)所揭示的橢圓幾何性質,用作圖方法找出下面給定橢圓的中心,簡要寫出作圖步驟,并在圖中標出橢圓的中心.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案