Question

如圖，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的兩點，動點P滿足：||PM|-|PN||=2．
（Ⅰ）求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)d為點P到直線l：x=

1

2

的距離，若|PM|=2|PN|²，求

|PM|

d

的值．

Answer 1

分析：（1）聯(lián)系雙曲線的第一定義，半焦距c=2，實半軸a=1，從而虛半軸b=

3

，
（2）聯(lián)系雙曲線的第二定義，到定點距離比上到對應(yīng)直線的距離等于常數(shù)e（離心率）．

解答：解：（I）由雙曲線的定義，點P的軌跡是以M、N為焦點，實軸長2a=2的雙曲線．
因此半焦距c=2，實半軸a=1，從而虛半軸b=

3

，
所以雙曲線的方程為x2-

y2

3

=1
（II）解法一：
由（I）及答（21）圖，易知|PN|≥1，因|PM|=2|PN|²，①
知|PM|＞|PN|，故P為雙曲線右支上的點，所以|PM|=|PN|+2．②
將②代入①，得2||PN|²-|PN|-2=0，解得|PN|=

1± 17

4

，舍去

1- 17

4

，
所以|PN|=

1+ 17

4

．
因為雙曲線的離心率e=

c

a

=2，直線l：x=

1

2

是雙曲線的右準線，故

|PN|

d

=e=2，
所以d=

1

2

|PN|，因此

|PM|

d

=

2|PM|

|PN|

=

4|PN|2

|PN|

=4|PN|=1+

17

解法二：
設(shè)P（x，y），因|PN|≥1知
|PM|=2|PN|²≥PN|＞|PN|，
故P在雙曲線右支上，所以x≥由雙曲線方程有y²=3x²-3．
因此|PM|=

(x+2)2+y2

=

(x+2)2+3x2-3

=

(2x+1)2

=2x+1，|PN|=

(x-2)2+y2

=

(x-2)2+3x2-3

=

4x2-4x+1

.
從而由|PM|=2|PN|²得
2x+1=2（4x²-4x+1），即8x²-10x+1=0．
所以x=

5+ 17

8

（舍去x=

5- 17

8

）．
有|PM|=2x+1=

9+ 17

4

d=x-

1

2

=

1+ 17

8

．
故

|PM|

d

=

9+ 17

4

•

8

1+ 17

=1+

17

.

點評：本小題主要考查雙曲線的第一定義、第二定義，及轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，同時考查了學生的運算能力．